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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 4 |&5_j  
j-LFs2)jQ  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. myvj|g~~WB  
o gzJ9  
　　1、三角函数本质： mQ4S`/NuE5  
:$D+OH:  
　　三角函数的本质来源于定义 @ 2:Bpkz  
dx!?%tVTZ  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Ua`v+}w  
6E'jxs8il)  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 uVi3zi8A  
A Q>#.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： {pkdx}+  
V9(lF7  
　　推导： /L;HIXO.  
6Lo/1[LDh  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 VTe;4 P3  
0Hv-"c+   
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) s @)qF  
 0cPy17S  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ;052Bk|n  
'uXT!FY(Nu  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I_r I'5xF  
UjdZ"`>O!  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） .y(>vbV  
:;:T-  
　　[1] [yNZF)j<.  
p 9i5Zr"  
　　两角和公式 " D?X  
q BE5mmp_d  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB >R`/wfu8  
Pi!KR |D  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /a\y.R-]  
^V"uMK`i  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB S%1@^,aF9b  
k!@Z"0{  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB fB9:`2X}  
wS=B]AAZ  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ;hVZ{*@  
V+U&ySY  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) S.5JC 5:v  
\R8/BD~  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  oc.RFW o/@  
T rXwG=D  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 3=-f6p>>  
0d`!>  
倍角公式 u$if. H/B  
};a 1(Xy  
　　Sin2A=2SinA•CosA Ly34*gP,  
 6c6mc7G:  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]EK*VItG`  
|w/ ~Gg6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） %o Rn?%f  
oqf'~  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Jy~swY58s  
7+.9cz!s)  
三倍角公式 ;M-Lmo|1  
([{}ld!Nw#  
　　 xz Hn[I  
EjSYLz7e  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) xw"g~^|5  
RwZe1P  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 5BWaI _V  
+,t6'N  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) bp/ ugG  
]/g4vo"*?  
三倍角公式推导 W`-jJ'  
d.ndX/H  
　　sin3a s +y*7BP  
N"YvgG&  
　　=sin(2a+a) U A(?nY  
\2TL  1d  
　　=sin2acosa+cos2asina |tNP5}Vd  
%x4&"M` O  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina QV_nIHT  
41N>B4z  
　　=3sina-4sin³a 9DvA S  
qBD`F*x7$o  
　　cos3a `K{HD;LGw  
0fGH3|$]$'  
　　=cos(2a+a) *|&:J~K:  
iYP{WQF~  
　　=cos2acosa-sin2asina / U dY[N  
6B:CZ6  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 35>`y_%  
_^*f/w  
　　=4cos³a-3cosa F H)X  
.L awp k  
　　sin3a=3sina-4sin³a HYf_s<  
QaB&0Hdg  
　　=4sina(3/4-sin²a) Mt4aTY  
r>N44s  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] w3*q"RnF!Z  
dZ {XWa  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) '&w_w@[a  
&w/~N"?  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (L 'B  
]sCPX#EH&  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] }S9@j_iM'Y  
"\xtHQDl   
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) |#)wP^S*  
$:l6bXl  
　　cos3a=4cos³a-3cosa i05tO+6cV  
:K?aL-Ey  
　　=4cosa(cos²a-3/4) j}z:wEQN  
\,XCT  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] pHiUl@Z6c  
r 6%A^~:  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) P$_~L,i  
ZRBug  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5=a_!vs/R  
t.P[b  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} lYEs%(NE]  
5My@{$j{  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) LfszH1  
TfWh/x ^  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] xr1vI+N5  
/la:q :  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,JQ7'%k z  
1Ri)Z$w  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  =!-Q  
5={$ 3<3k  
　　上述两式相比可得 E*5np+W^  
|4[aR+  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) v_2x)DC%5^  
q*[u7kX  
半角公式 F$c@)X%WV  
p@'-$Ia  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); D~ 4|Po  
jO3iq"%  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. xiK%={,  
>gWx_a~y  
和差化积 [Ww1b%%  
fTo-K;(kq  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?_Z[`2d  
fFKj  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Wakc J  
K? M1CI  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] GU., +a  
a NxoAsxyW  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dwT 1M[X)8  
yu7?.]VeCe  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) {s* +TR6  
xs#4dKz tt  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) A\Q&_?  
d7YLL?+'^  
积化和差 nP5!r9_[g  
cD,./c<V  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] >L6W>\d  
;m\(^a9  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] fMhnP ?.6  
1^TthkaWn  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] L*lS&s<A  
O 31<+  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] "O|9p |z  
q= ;eHAI  
诱导公式 L9}3eI  
*V3x 3YI  
　　sin(-α) = -sinα OH-fY .  
0xFsvO_.  
　　cos(-α) = cosα t]?px pzJ  
Yp&[\z Qij  
　　sin(π/2-α) = cosα Xbu9rlK`  
)\G>yZoS  
　　cos(π/2-α) = sinα |.eu93  
Wmf/m"{[J  
　　sin(π/2+α) = cosα H@rIqd 0  
Q@X~S,G@  
　　cos(π/2+α) = -sinα 7`#v2; ,a  
b&5)O0dg'}  
　　sin(π-α) = sinα h,Zje;VZ#  
DHz< g&  
　　cos(π-α) = -cosα ktWQl MgsL  
ZStk^  
　　sin(π+α) = -sinα Af3~.<  
3WS|6Jw>  
　　cos(π+α) = -cosα #"\m~=hA  
"\bCjv#  
　　tanA= sinA/cosA ;#"\rD`B  
z=CacO >i  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 3't0}k+[z  
W)*|[q%U  
　　tan（π/2－α）＝cotα 6N,lZ689  
{n@v?qSI  
　　tan（π－α）＝－tanα L+hY?SC?  
cuCCq6.z  
　　tan（π＋α）＝tanα lg7Nc?I>  
{V`v"46  
万能公式 B&n\[qE&  
y.q2_L"  
　　 *|X"\{o  
uZ]DZnVs  
其它公式 b3WKm#  
f!U#pprg  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 2CA-Ofa:U  
]xzStP;X_  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 `<_V u&  
55YDE}B)  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 v= hN8r\  
DWlf;<Z'5F  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 w93.{CX52,  
rnce4qKv  
　　对于任意非直角三角形,总有 1.ENYjV9 ?  
25&1CE #H  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC u*OL|,  
pB 1nF)N  
　　证: n_= t>$hVf  
zE,m@_%  
　　A+B=π-C _#KJE .  
p~n$(bt}  
　　tan(A+B)=tan(π-C) /,FsNw?s  
7TcEssh(B  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .fQF=fL  
HuEmz<E^  
　　整理可得 8wGG 6y5F'  
VQg=--@Mp  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cP'0 2^  
!h5[%s-  
　　得证 yBGk/;; v  
ULq (}j  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w]EL$"/Il  
A `z,A  
其他非重点三角函数 Cc5%zV}c  
H2{[k+  
　　csc(a) = 1/sin(a) Ufl"pT@D5  
}]:rI*  
　　sec(a) = 1/cos(a) lTCh) b7~  
dK4Noe  
　　 %ORpj>KLW  
{-MiVPJ  
双曲函数 [`Jj 9vn.  
DE/%z)yh  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ]M?,8x_OY  
/y(Hf1r  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ypiTE"Rj:E  
"w(-ZM  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) o\Rfd;i|b-  
g<eU'|;_U  
　　公式一： 6|3{ yX  
+]p_G>_!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： JsS7P `nt  
0!rcX%Dl}  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  qR]{  
ntwudp =  
　　cos（2kπ＋α）= cosα SZrUo  
oH!XKKF1  
　　tan（kπ＋α）= tanα nk 3Of]&7i  
T6?Hp2m  
　　cot（kπ＋α）= cotα ;X_>bWKxn  
.+.jN1<C  
　　公式二： [IlqgES  
Rf9`,P2  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 8Txc4^6Ah  
\$ OkDz  
　　sin（π＋α）= -sinα !>NA^Zs5V  
|Qx)Qe$  
　　cos（π＋α）= -cosα 3Kr*N-Ik  
j=3sbx!g  
　　tan（π＋α）= tanα 13gLfi%mm  
7$'|u%  
　　cot（π＋α）= cotα @.r8U/`2M  
+<Gz t=._6  
　　公式三： E\Z.y?zw ~  
D\3PL Q7  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： !p^^mV  
U xp)+IN  
　　sin（-α）= -sinα 8fc 3y  
V1u~xpa.;  
　　cos（-α）= cosα &"" B nBbM  
@Z''8B /#  
　　tan（-α）= -tanα j;. +G3  
> Zo~E7  
　　cot（-α）= -cotα 8]16c.   
P@owO] t@0  
　　公式四： u~,Z@Lzj  
"09z?vXSZ,  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： i|F-O0$  
vRwBH.t  
　　sin（π-α）= sinα :rqd o&Kk  
L{p|yUb   
　　cos（π-α）= -cosα r.Rd}T,Jw9  
RB1aTDh  
　　tan（π-α）= -tanα Vi #I7  
C@.~ck<  
　　cot（π-α）= -cotα  `T[/5O  
'y C*nr  
　　公式五： y(h!  
8ta(9D[  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ++ Tkd  
zj5~Nrg  
　　sin（2π-α）= -sinα (.jWWv  
N"u $4  
　　cos（2π-α）= cosα 3zvV8s  
Wi$!7mFSY  
　　tan（2π-α）= -tanα !GHL0%Q8#  
w2#MkS  
　　cot（2π-α）= -cotα mC8?R^J0<  
 9F  
　　公式六： KTP1g/]}i  
pB0`4!uR  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： lew`UFu{1  
?=*X ,`  
　　sin（π/2+α）= cosα @&vQ4vo9  
lF/v *:  
　　cos（π/2+α）= -sinα {gxHmn1  
F/l[v}#   
　　tan（π/2+α）= -cotα 0`!g$?M:  
m{kc KMf  
　　cot（π/2+α）= -tanα w5.LcV`%  
41C&pz[|  
　　sin（π/2-α）= cosα ER^hP&  
fJ7GW :|G  
　　cos（π/2-α）= sinα ,t*sTC  
9BD!|v7Kp  
　　tan（π/2-α）= cotα fS% mP.k=\  
%GbIbF  
　　cot（π/2-α）= tanα J;A3$^~ :~  
#(X^I:M  
　　sin（3π/2+α）= -cosα '][m6U3.  
I5Q ~U  
　　cos（3π/2+α）= sinα }%'.&;  
`K[h=L+Y  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 8"@ GXnJ,  
=|YE*;=DB  
　　cot（3π/2+α）= -tanα v3@Bv54;  
CyC9~|uE  
　　sin（3π/2-α）= -cosα  =;/#1Zk  
 iJgf^  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 5trS~~J  
YT{7z,\K  
　　tan（3π/2-α）= cotα moIGm &  
Y);r;1 h.  
　　cot（3π/2-α）= tanα t9D`h.\  
i*<9;L-:  
　　(以上k∈Z) b]qY.2w  
P.&v 7$  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 `KrC1i  
{[fD4 ZXee  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = I(Q7#->t  
$e&TOb4.P  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } KILg }lLk  
IEP{7/s#  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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