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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &&$hsTO[  
s+WM5B]BT  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. r;)dF$h6  
(@R1MKm@b`  
　　1、三角函数本质： w?G *9\  
K.y8Ya  
　　三角函数的本质来源于定义 tuDa8  
/z0{yN  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {Q~YJ)J 4  
<J+A4eo9RI  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 GE 2Zfq  
hmXOE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： CP >_ 1~O  
ES'P@PKd,  
　　推导： t!~umr}0)  
z_65(n  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 NiKh_\f[  
H"H# @7e  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) LdF{m!aFs  
eJwQH<5aR  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YoX_L  
$\#o4)BdL  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 86&4~]u<  
XI9<';@d  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） {&x}QM&  
 ]y1[iE  
　　[1] Lqs+)+&M[  
rk8z:-`  
　　两角和公式 :Tn& W  
M%7e 9Zmm  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Y `nLTr  
%Ggnar$  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Q0DHx8tl   
 J+6!  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB xc~Lnf'  
Q/|;Enu  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $Sb|W@6<  
M/q;bb8  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n+GL/n?B  
 <3haptF  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) mZU/v`K  
Xozy#h-  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  F&?@V4|  
8[({IZq  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4C``Kojc  
'fP{OAgB  
倍角公式 _fED0/4F  
?Q}PtwP  
　　Sin2A=2SinA•CosA [YzR[[#/  
f nv\[s  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9]%X#+v;   
c2=$zy  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） sD}~Go>  
)Z#L'v(B  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） d[h-A^  
4SN`A  
三倍角公式 kxpM-e  
:J@/# 'Ds  
　　 B26Ch*y  
br9-pl5  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Fmf\L\2zN  
x)lJmdJ*|  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) g: ]B"*5  
ugOStwH7  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) #&$9m-6+  
6Y<G}#N7  
三倍角公式推导 ; k4yU$C  
`WEk>{+;aO  
　　sin3a L<073\ 80  
Ay1(J d  
　　=sin(2a+a) E&%aF<8  
UhTqZP'jC  
　　=sin2acosa+cos2asina f{opnqmT^  
^?M_;otZ=  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1Y{3%a?\  
`68.68Q  
　　=3sina-4sin³a siQHJX3  
Z/wt $Jp  
　　cos3a e4$+6e,`  
Lg x+  
　　=cos(2a+a) /oYW3Cxme  
>TlAcd&ec  
　　=cos2acosa-sin2asina (+pXW1ElY  
F/qdH  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa jNkS^XTY  
DkbLK[.5  
　　=4cos³a-3cosa [Hmn/_t{  
u0jo0  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,^kbb#>  
kz[BiRKO  
　　=4sina(3/4-sin²a) ycR&FO97H  
n#/L2<]}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] jbF KvuJ  
6Cj]%XT  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ELl +mc  
-Y};NMA  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) qT$Z g+vR  
OWj%&pc9v  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] o%gep0.  
]U.P\ YZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) JqEE1".vn  
vW J2r&Z  
　　cos3a=4cos³a-3cosa oaEBZ-+  
> tM4EZ3$  
　　=4cosa(cos²a-3/4) KrkH` KI  
yp1\-+ZY  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Bn_iX }  
"R \L4 $(  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) k8-](Y?'g  
TRZu iS  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) [Yx!5,{G  
N^Nt$eZ  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MiG$~HA  
?HOf34LI  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) o# #  
hJzpLSSae  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] l_Qv!e#vc  
!eI )?Dl  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ( "RB;LC  
caGgS'9  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ,W$}UI+E  
)CX ;,b  
　　上述两式相比可得 vTQ{@3c  
-'Pt.i][n  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |o{d ? d  
bGwDF{u  
半角公式 A-EQd28  
Ys<g|/9LT  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); v2#&q3[@  
gN[y`6tG-  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^Yp{Q.Xo  
nDo <z3R  
和差化积 /rY(5#J}  
2 c-3y-B  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] PSnme\  
b[rqZYW  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $#g:` KZ  
f.?8NL'  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i9,yL  
RN'FA?5e  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TNT8srbm  
jq,Spn0[  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) .:-;b;[7,  
z%`isD*m  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DiC6<?  
e/^# N9ka  
积化和差 d,*M!Q\VO/  
0'@XfJwE1  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] *YonCm2!k  
:C] WfR  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] EfkFCw4BC  
t|C_ `X  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] qv5.6m`V  
9'a|JWXEM  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ]{OX< 4V$  
/'2~;&u  
诱导公式 -Q 6 B5  
] @5 ;#V9  
　　sin(-α) = -sinα  E]XK/  
Er!f:>4!$  
　　cos(-α) = cosα zf=c_U@7z  
S4qRwX $^  
　　sin(π/2-α) = cosα Lji^2ZL  
`>{o(-1#  
　　cos(π/2-α) = sinα 'YjsUD  
_Z|z`{  
　　sin(π/2+α) = cosα jm&v#.Ri  
u"=Br  
　　cos(π/2+α) = -sinα {B (y-  
6 $5SUxC  
　　sin(π-α) = sinα P4[:R73R  
,_`u(Bt`  
　　cos(π-α) = -cosα "= Hh,:bp  
-Uvp@BP~8  
　　sin(π+α) = -sinα Pzv m/*&c  
&|!;Xt^I  
　　cos(π+α) = -cosα &T[2*h(  
/3n6 nRCT  
　　tanA= sinA/cosA IkPejK1>d  
OXaD+6W  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 99<e8g%R  
:hdn  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,?PN $oxb5  
q7<B>K  
　　tan（π－α）＝－tanα X$R~_fM  
3$O?w;  
　　tan（π＋α）＝tanα ~6~=$*(  
vw|5PpD  
万能公式 RspgD:? |  
(bdm8l  
　　 DO2@LC;Ub  
SMqnoH  
其它公式 ;4r`xB=_  
Pi9)*Uxj*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 zra$4@KS  
w R<{4s  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 h xbK+g  
T\o{o^a  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 VhHdQy/  
dNfaY^9Nu  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ,Hu!F%8  
I_v /g+|QB  
　　对于任意非直角三角形,总有 f}$r._@&q  
4 ]ggsI n  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i?H9T"#<;  
wE-"QlSK  
　　证: mtrL.CX  
Y pA9y  
　　A+B=π-C Wo`@klLi[  
`=G{}A  
　　tan(A+B)=tan(π-C) vby$ ~.  
buHL}IN  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) %!@)T(-  
QppD$^8h  
　　整理可得 Uj0ByFj  
M"-ezN*h)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC )Ie[LwjQx  
g<A4#L J|:  
　　得证 -lX57[t`}  
psf*2U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 G"KDkQvD  
NIGb5 tLu  
其他非重点三角函数 C72w $7Fd  
v ;SCET)f  
　　csc(a) = 1/sin(a) {2CZmVgt)#  
xK/qg h@  
　　sec(a) = 1/cos(a) tvJl96!1~m  
PfN^S 2  
　　 3Ow:vw  
=*JcNcQW"  
双曲函数 zTqb4U  
 rc(_.j2Z  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 o"bCy^L f  
J>l{Mkxa>  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =dv>GU22#'  
>wB;s^%c  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) e-,<}k4  
X3 `s\tJW.  
　　公式一： U=?H\ *  
Pe~6;-'F  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： toG}3Y>N  
TlrXP&.NV  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 1 g{p_  
{: Gvs{E P  
　　cos（2kπ＋α）= cosα s3?N</j-  
$1FE;}JH  
　　tan（kπ＋α）= tanα i#WJ 3)  
bAY}LiR  
　　cot（kπ＋α）= cotα 9B|k Ty  
~w%)Ib  
　　公式二： bVP0H3 Y  
irOvx N  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： is&S-zY8  
0BK^.6  
　　sin（π＋α）= -sinα \^Fn\bgl  
Mz[=4PLq  
　　cos（π＋α）= -cosα G=8XL+  
vAcorUu  
　　tan（π＋α）= tanα 6sWAgY}}  
\ (op z  
　　cot（π＋α）= cotα AsVY*R  
m; r=k|l  
　　公式三： 5J npAr3  
)!5<.G{  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： A+/.Qurv  
4CVfKC  
　　sin（-α）= -sinα x2TOFI2y  
NJoG";E^/  
　　cos（-α）= cosα 8bd?ozB  
Trc &9x0  
　　tan（-α）= -tanα }r,8I<,(  
I"\}oqj]  
　　cot（-α）= -cotα B% fVV t  
3ml\3 G  
　　公式四： [v:kOl  
&2:}9p=  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：  3D3}o  
WO1HA #^  
　　sin（π-α）= sinα Ze>L<MXyL*  
zXigBQZfi  
　　cos（π-α）= -cosα c+Nmk($q  
*\tvMkL   
　　tan（π-α）= -tanα %b!j6^=>  
&.G V "  
　　cot（π-α）= -cotα Ct )23^P  
r3P=>>m6N  
　　公式五： k(zT)kzNX  
5~94@3L  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： +n}'f  
M%M-jTU+/'  
　　sin（2π-α）= -sinα *{|zIs  
2nrDf.Bi  
　　cos（2π-α）= cosα u<} i~C  
VQ,(royW[  
　　tan（2π-α）= -tanα cpUw uB  
U94,8)F  
　　cot（2π-α）= -cotα yNjL0]T  
U\O?mpv.  
　　公式六： HDyhW qex  
YU 2.  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ,wk )2  
4L'S<u!  
　　sin（π/2+α）= cosα KG>@ #j  
Td8f\<q/7  
　　cos（π/2+α）= -sinα =YB<>5  
jyJ-|s4-  
　　tan（π/2+α）= -cotα 3P0INFlr^  
STf>.c~,4  
　　cot（π/2+α）= -tanα '67S 5  
j[*\BM@t\  
　　sin（π/2-α）= cosα x,Lk Vu@  
.E3Sr#kw  
　　cos（π/2-α）= sinα c9_?TbcH  
}80aYkT-K  
　　tan（π/2-α）= cotα $(db+e)T9  
&z,#S\ q  
　　cot（π/2-α）= tanα 2 }v8U j  
"[F>TmC  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ,?n}mp0`  
L61N)0`  
　　cos（3π/2+α）= sinα x ELJBO  
j])-U j   
　　tan（3π/2+α）= -cotα [n90kEJ  
hq1$}$HJ5z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα +E Krd p  
KCXR@Di  
　　sin（3π/2-α）= -cosα o5Lh69  
%7$<]_k,  
　　cos（3π/2-α）= -sinα ["oxD60P9>  
'4sj@]`@  
　　tan（3π/2-α）= cotα 5U 'VHrs  
fDPHF/  
　　cot（3π/2-α）= tanα r?+$/G'  
{;S'mV$  
　　(以上k∈Z) tMcloClDf  
s;dM "S  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 5{QHUXb  
T&WE;U%/  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ~q)6vWX4U  
j6-Z5}+l7  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } z0("sL 5  
W6S^r-)>  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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