三角函数内容规律 &&$hsTO[
s+WM5B]BT
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. r;)dF$h 6
(@R1MKm@b`
1、三角函数本质: w?G
*9\
K.y8Ya
三角函数的本质来源于定义 tuDa8
/z0{yN
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 {Q~YJ)J4
<J+A4eo9RI
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 GE 2Zfq
hmXOE
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: CP >_ 1~O
ES'P@PKd,
推导: t!~umr}0)
z_65(n
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 NiKh_\f[
H"H# @7e
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) LdF{m!aFs
eJwQH<5aR
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) YoX_L
$\#o4)BdL
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 86&4~]u<
XI9<';@d
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) {&x}QM&
]y1[iE
[1] Lqs+)+&M[
rk8z:-`
两角和公式 :Tn& W
M%7e
9Zmm
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Y`n LTr
%Ggnar$
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB Q0DHx8tl
J+6!
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
xc~Lnf'
Q/|;Enu
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $Sb|W@6<
M/q;b b8
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) n+GL/n?B
<3haptF
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) mZU/v`K
Xozy#h-
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) F&?@V4|
8[({IZq
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4C``Kojc
'fP{OAgB
倍角公式 _fED0/4F
?Q}PtwP
Sin2A=2SinA•CosA [YzR[[#/
f nv\[s
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 9]%X#+v;
c2=$zy
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) sD}~Go>
)Z#L'v(B
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) d[h-A^
4SN`A
三倍角公式 kxpM-e
:J@/#'Ds
B26Ch*y
br9-pl5
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Fmf\L\2zN
x)lJmdJ*|
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) g:
]B"*5
ugOStwH7
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) #&$9m-6+
6Y<G}#N7
三倍角公式推导 ;
k4yU$C
`WEk>{+;aO
sin3a L<073\ 80
Ay1(Jd
=sin(2a+a) E&%aF<8
UhTqZP'jC
=sin2acosa+cos2asina f{opnqmT^
^?M_;otZ=
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 1Y{3%a?\
`68.68Q
=3sina-4sin³a siQHJX3
Z/wt
$Jp
cos3a e4$+6e ,`
Lg
x +
=cos(2a+a) /oYW3Cxme
>TlAcd&ec
=cos2acosa-sin2asina (+pXW1ElY
F/qdH
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa jNkS^XTY
DkbLK[.5
=4cos³a-3cosa [Hmn/_t{
u0jo0
sin3a=3sina-4sin³a ,^kbb#>
kz[BiRKO
=4sina(3/4-sin²a) ycR&FO97H
n#/L2<]}
=4sina[(√3/2)²-sin²a] jbF KvuJ
6Cj]%XT
=4sina(sin²60°-sin²a) ELl +mc
-Y};NMA
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) qT$Zg+vR
OWj%&pc9v
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] o% gep0.
]U.P\
YZ
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) JqEE1".vn
vWJ2r&Z
cos3a=4cos³a-3cosa oaEBZ-+
> tM4EZ3$
=4cosa(cos²a-3/4) KrkH`KI
yp1\-+ZY
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Bn_iX
}
"R
\L4
$(
=4cosa(cos²a-cos²30°) k8-](Y? 'g
TRZu
iS
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) [Yx!5,{G
N^Nt$eZ
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} MiG$~HA
?HOf34LI
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) o#
#
hJzpLSSae
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] l_Qv!e#vc
!eI
)?Dl
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] (
"RB;LC
caGgS'9
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ,W$}UI+E
)CX ;,b
上述两式相比可得 vTQ{@3c
-'Pt.i][n
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) |o{d ?d
bGwDF{u
半角公式 A-EQd28
Ys<g|/9LT
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); v2#&q3[@
gN[y`6tG-
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^Yp{Q.Xo
nDo
<z3R
和差化积 /rY(5#J}
2 c-3y-B
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] PSnme\
b[rqZYW
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $#g:` KZ
f.?8NL'
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] i9,yL
RN'FA?5e
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] TNT8srbm
jq,Spn0[
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) .:-;b;[7,
z%`isD*m
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) DiC 6<?
e/^#N9ka
积化和差 d,*M!Q\VO/
0'@XfJwE1
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] *YonCm2!k
:C]WfR
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] EfkFCw4BC
t|C_
`X
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] qv5.6m`V
9'a|JWXEM
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ]{OX< 4V$
/'2~;&u
诱导公式 -Q 6
B5
]@5
;#V9
sin(-α) = -sinα
E ]XK/
Er!f:>4!$
cos(-α) = cosα zf=c_U@7z
S4qRwX
$^
sin(π/2-α) = cosα Lji^2ZL
`>{o(-1#
cos(π/2-α) = sinα 'YjsUD
_Z|z`{
sin(π/2+α) = cosα jm&v#.Ri
u"=Br
cos(π/2+α) = -sinα {B(y-
6$5SUxC
sin(π-α) = sinα P4[:R73R
,_`u(Bt`
cos(π-α) = -cosα "=
Hh,:bp
-Uvp@BP~8
sin(π+α) = -sinα Pzv m/*&c |