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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 yv_{Q>}  
p \# <qB  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Uj@s&1[?l  
B(a&"K+  
　　1、三角函数本质： NN7) 0Mj  
u+_F-Ux  
　　三角函数的本质来源于定义 c&PK,VDwp  
So04@Kf  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 1u {E%  
KwugTuJ+  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 EH>'Q9  
F8gjDT ^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;0ZEqO  
]_ {GQMKK:  
　　推导： =zN$b}Xn  
[H"* 5  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 :|9PC?P2z  
x[\J0bM<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _YyXr Ylvo  
?!~ha[O!d  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 9?P*_ I  
+'?4'VT  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [s^h9 x  
:>r9v7*  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） vF5 [>4]B>  
vUa:Px n  
　　[1] v()msSQ  
?=&G4dos  
　　两角和公式 ;B.=.n  
o*6zE  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB h9oCO [  
x <]+|^0=  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  o1a{  
S?w12l2t\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB  cR~-Hz  
tLLmGEOkk  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB +5oT }N  
1=- !]V3  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) e+0lLNKy.O  
3b7lHYfr;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) xtxyA  
f<s5*p5  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  k5r6_k: ew  
ulwTM4  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Rr `6E1B u  
3Dj yLo  
倍角公式 %.FmL6&  
Y2|jEL  
　　Sin2A=2SinA•CosA S(FPe4;`  
| &sk   
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ?qz)N  
!u>UE Y+  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） {lyfX#AJA  
j;p~Pfo  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） YP%bRnb  
H'2jH9I#]  
三倍角公式 B/"($^!"  
3/H@ *)  
　　 AG?'onv  
3S^*n"oo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 2EPSe  
1|lX4.S" 5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) qrm@T[5  
*|2!*V  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) <WuW #:$  
s8cO"uQ  
三倍角公式推导 \/[d!Zq_  
KH);#(  
　　sin3a #}Gd38 9  
(>\OC^rI  
　　=sin(2a+a) 2EA3d~4>@  
e'58</]u  
　　=sin2acosa+cos2asina ,)\4Kv ,ev  
7' tPs7Lt  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina *i#s34ej  
I@/b3Vg>_  
　　=3sina-4sin³a 2N:P]DW0  
_hTk5.(]2  
　　cos3a Jb@'WW3|  
vPXIF6$?  
　　=cos(2a+a) |q FYH!  
( z@kH1pa  
　　=cos2acosa-sin2asina @)JAM4N  
R1Uw +W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa zN91O  
^K?u*IW  
　　=4cos³a-3cosa m6$ nQz  
XV{BH4  
　　sin3a=3sina-4sin³a p iE!=JD  
_J&hSu]  
　　=4sina(3/4-sin²a) iP@Fm   
}hA.\H@pK  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ], =v oM  
[@75,r#  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) -sdKd!"Q`  
-! 436g  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) #o!Rfzc;,  
UAeEa( P  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Wd"!!9[i  
lY~^Jx$  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 61;1Ne06`  
WP\y J"(M  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _kjW`wfc  
FkT(!*<Qfo  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ,wxr|r]IZ  
)rP8+q  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] uljW>D;{  
ue $^K>  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) bQ r!_ $ 9  
Z5v|y$'  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~DgsHi~ouU  
p23Leb<w  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Q58,u9=  
=1lNa6G\T  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) gmM%=@}  
6:KPS;"p  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] \/b[-,oa  
X<JRc[NNU6  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Q(Z CvX/  
pR6bHm$-~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) x`R9qF V9  
-- 0iD}jkG  
　　上述两式相比可得 F[5s~V{5  
dV9ka6H/  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 9@3WOh1.i  
w V8 o  
半角公式 ]!4(vPF  
UDZ<f w  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); (k3Wu  
i}7Y"~b  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 6.6sH"  
pB8l# J  
和差化积 _vv!q8  
ZH;1{eQ  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] lkXf-J&  
Ga=r]U<`  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] WPd9h  
p_,D8q  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 8qrzk @4w,  
%Q* D|x  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <~)dV n  
v"<xH]  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) wGY2|cE|  
0$B" U%  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) CVR%^T  
%&G-_Dp J5  
积化和差 kG<NSn]  
v[gsG<x7Y  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] OG,>5g6M  
{X\p<G4  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ]X] ]QC?  
^2]&<D W  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Xytm:];x0  
z)2]EX{  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] M+XhwT4u'`  
{9l*o]Glk  
诱导公式 :E p=kV3  
4wRb'"\(  
　　sin(-α) = -sinα ik+ky-FH  
[VN #c)  
　　cos(-α) = cosα ]`y`Vhj|E\  
(*M&Wg9  
　　sin(π/2-α) = cosα -G^D|g7  
z> 9o  
　　cos(π/2-α) = sinα -a#9(bS'  
e\^trsT  
　　sin(π/2+α) = cosα GGh% !  
YEM]=1=Fl#  
　　cos(π/2+α) = -sinα X<),}_kd  
8 ?P?#EYV+  
　　sin(π-α) = sinα \4WsS/%  
jf^.JZH  
　　cos(π-α) = -cosα !)*9  
 Qdk"R;  
　　sin(π+α) = -sinα %J_D$i*  
WcB.c|B7  
　　cos(π+α) = -cosα $5CPL  
< {h=)o  
　　tanA= sinA/cosA 801PF6\  
O\U R6)  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα *4y3SQ \g  
q(;fezhe:  
　　tan（π/2－α）＝cotα ^dVzkSa  
p'x!KKu  
　　tan（π－α）＝－tanα UX #:qc((  
P`- 8nl  
　　tan（π＋α）＝tanα ,PE:X4  
z_ Xz)s+s  
万能公式 1" C\'O'Ye  
..BK"yZ:  
　　 {Z e_  
qaN!oEx6  
其它公式 wi]52R0  
P{zq$b|Y  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 s#)E)^5,N  
xi`  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 C;hjdwrS[  
|uV!ntrO~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 iFv}aNR]  
*g[x69  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ?SG1rE^  
&.fTYC\3y  
　　对于任意非直角三角形,总有 PV4W<^8r  
+U)BAv~M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 4^ Kq,3{om  
C/ZW: q#  
　　证: NO$o> #  
M96%~-?  
　　A+B=π-C $d| O8c  
}jux=}%h  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 2p3}H2_g  
/ F+S}Lg  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) b 9q*Z}  
R<O9mQ7qi  
　　整理可得 b;kb\z0Ce  
EI5Ne_  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC A8BJL;H1,  
 "i l$6Af  
　　得证 MXA;WE9   
NUZF3g  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $<Y <  
nkO{1^  
其他非重点三角函数 2WCO4hA$  
H{u,ZpSC  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?7(qio]0F  
f{e-x[!TR  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3);hn\ Q  
ByPQ.CD%5  
　　 d: 8>rr  
` T)o`6ga$  
双曲函数 Yw/~tkK`  
# 'x^gsw  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 (#d-90Zx  
nJL05Gs  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 3<=AS%tp  
kdS&iFZ!  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 4~3,)O0]0T  
BU\T#C\8h  
　　公式一： xvO[*3  
C3Itv^  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： fcS;Cd  
LP\14a>  
　　sin（2kπ＋α）= sinα z]%PY"0Y06  
%!RE'}N_  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5}ATCks:.  
Pob n1  
　　tan（kπ＋α）= tanα 1RR 5s5i  
N7ZMF nx  
　　cot（kπ＋α）= cotα ,$ jtV.x  
nU3)LGvd7  
　　公式二： ^k;?J;r>Z  
#Sqa}OS\  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：  \YO `  
F 9{t8lh  
　　sin（π＋α）= -sinα OoR Y%y  
q&KX hqO-  
　　cos（π＋α）= -cosα n5#8<~CO  
)/R9`wsZ  
　　tan（π＋α）= tanα 8{}sLl^@o  
ur{<B/?  
　　cot（π＋α）= cotα 0 ;-0Y$ TO  
&%<L@IZfK  
　　公式三： ?SmD7JU3_  
DX V.[_  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： C lc0C^YF4  
9k# #+^,U  
　　sin（-α）= -sinα ]~4DKXk4+  
^I(~ G*  
　　cos（-α）= cosα y(1) Ju  
WkR(,e@Gd8  
　　tan（-α）= -tanα D&\yDGp  
`GA!KaS:  
　　cot（-α）= -cotα .VL~dMoD6  
V[oQgm0F  
　　公式四： : Bs]_  
?kk68s!}r  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： }e$< HP1L  
$Et) eKW  
　　sin（π-α）= sinα e-=NG?L  
n c z9k.u  
　　cos（π-α）= -cosα <cri,piz  
B/cQ_ _  
　　tan（π-α）= -tanα C ByM[nT@-  
f8r:7  
　　cot（π-α）= -cotα ,JfMV8,>  
w XnoP9{]  
　　公式五： M"qjK[ .;  
;?R"a&?d  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： \i`+Fze  
V-]%)I  
　　sin（2π-α）= -sinα ,h}nssYc  
cz' Ib<5q.  
　　cos（2π-α）= cosα qk1 \) g|  
3IlOkVYi  
　　tan（2π-α）= -tanα tFG!Am  
_I^OI,>  
　　cot（2π-α）= -cotα mv6;Jj  
M<`#|9~  
　　公式六： >yRn * [  
Q9)28Oc  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： L`4e   
Lv$334U  
　　sin（π/2+α）= cosα ^2r*cu24A  
Zn"2eH  
　　cos（π/2+α）= -sinα !d=MXeupT  
p\A, k.=  
　　tan（π/2+α）= -cotα tm|2ss,$  
lf}/`Mz8j  
　　cot（π/2+α）= -tanα ",B4*?\c  
fajM;kt\J  
　　sin（π/2-α）= cosα gR3  
s[>$:P/W9  
　　cos（π/2-α）= sinα f81 s$  
GqTt?GO  
　　tan（π/2-α）= cotα *+lgXEcS  
|\^7M!':u  
　　cot（π/2-α）= tanα A\27UA|8+  
|}};"RmQ  
　　sin（3π/2+α）= -cosα f_/tG|LCt  
{ pPJP*  
　　cos（3π/2+α）= sinα &_ie^ h+c+  
;qIZVUk4,m  
　　tan（3π/2+α）= -cotα =juz-<xZ  
Fh#"{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα =dOKtnt  
IDb'[*b1\  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 8GJh5z  
HRFeh-%31  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Qi29D!l  
W\{AJa{  
　　tan（3π/2-α）= cotα T<R.E  
gOIM9Kp1  
　　cot（3π/2-α）= tanα ;W u2(Nl  
oqm{a@:rIg  
　　(以上k∈Z) !U4?H|4<Q  
1VV\%5R;,b  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ,=Q01IXt=p  
!%Irs6^  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = TQNa  
b?pr?7J6*Y  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } #RvI8S <n  
Klty~b0'[  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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