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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  S7,saXgI  
qa' nB={  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. x<F#0C:  
*j@%_`y'a  
　　1、三角函数本质： Q[9f7ZR_  
IIQ0]ypf  
　　三角函数的本质来源于定义 O,`]T{2l  
%gOW3bAJa9  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5 $S29[  
m,n^J3rttp  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 HSEQ1|A  
j!EOg3.>  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： @*Kr4~D  
{2<&kA!E  
　　推导： ?hnqr 88  
8:L(!9#6  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 G8MsX~  
y|FF?2^,  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) xMt^x"P  
UOfC<*Iky  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4\GAu"yq  
! ?CY&  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 h1"fc2+N  
(bhvGw=  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） z` ^jwR&x0  
3w!~7%!X<E  
　　[1] 0w|O[HUE&  
Rn0u3 Jj  
　　两角和公式 N}F\^BG$  
K ?7x-j  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB kk1l9@  
$i;p,'Au%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  U[kPG%  
M{D=A 0 _M  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 1?PA]zXF+  
r+iUpw<B  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB s _nBN9?\  
#%[),|JD  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) -^?H-\  
?U@>/G  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @X`3e0uXL  
r9gIe( G  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  k}b"vIF  
vY(`){  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) i/4v+=++-r  
%$8>`dP F  
倍角公式 Dim*&(  
cm+qzxs>  
　　Sin2A=2SinA•CosA #r^BC)w  
wZwjYth0  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 7#MtX"Rk  
Xx?,i%P4  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） j@z%4 O Z  
`9nSVVc ,  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） A7Fwf  
s, Dnk_2  
三倍角公式 z>[:>8y  
/roK/^M  
　　 # cI3l%/q  
{U lwr$  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) RmQ6/"u|LY  
)VYCp3>  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ozF\!=xj{  
L]/pmgyN&)  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) NeF 8w6@HH  
SwJ756{ E  
三倍角公式推导 p?Y,+*G!  
B.WhJi8  
　　sin3a fZ%{#)~  
n>@q#oc^V  
　　=sin(2a+a) ^*BA3}\K  
>=N\`(n  
　　=sin2acosa+cos2asina GDf_9:,  
"HGgS3Km  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Crmrc3or  
U\  BI:69  
　　=3sina-4sin³a eLscs  
pz(M [  
　　cos3a 3;ehO0L  
]9i!iG*w  
　　=cos(2a+a) F&:;/  
/`Z;gwD#d  
　　=cos2acosa-sin2asina VKm1o(}$  
V - j=W  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa e_38q: H  
{81N95-  
　　=4cos³a-3cosa }q"n @$ 9  
3bJA$a )\]  
　　sin3a=3sina-4sin³a IJZe4 l  
bPe)p#@?  
　　=4sina(3/4-sin²a) Y -WOv@1`  
nbM`R]Z  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Csbb#>OP  
H/b7Ldg  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) f>/(9V  
D\xKzPi  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) f ]'/}h!  
N!q]y(}  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] PhFa9^n   
#IZJ,qu;  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) [7[2\$Z  
X>QZBZ#  
　　cos3a=4cos³a-3cosa f+^DaEE  
6qC KJ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) k 'hEx'0Y  
}W*[T>S"Q  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .#K),h/n%  
v<49%q>Jh  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) %86V"5w>U:  
;V( qRxL  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Od^A-Sv)P)  
"Fpy"8CweS  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} f>0\ .GOf  
Z`jQ;&#_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) @9@KLCr_  
jb32Q.  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 1:GyW{?w  
% S(H=)"  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] H/6j 6\^  
'~v?' 9+Q~  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :L + .jQ4  
 tPs~  
　　上述两式相比可得 X<v9 ~Bn  
7[ &( ,J  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 1*6)r;x^P  
e!ngOS6  
半角公式 ShQ$ 2Vi  
ZhLJ(>p  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); `vtD{r)KWe  
dKU)n  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %"C>rR{)  
l[J;iE`U  
和差化积 J\RxZQ7  
XW6porvLGG  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] CB7HT&<}*_  
K2E_;YA-  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P3r\Jx@V\  
?\,0J2{{  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] `-Qd&QW  
)7%IL  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;:)g>(7  
uQ0e[`\\  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) seq 63C  
=_CrW0=Q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) pSrt_6  
DJ}U-i0!@  
积化和差 PmV{D5N6  
|Xo1'op  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] q;B c}Q7$v  
:hx\zaW(C  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] i: j:RO,\:  
(g)mcwS  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] { $8t_J;7  
;_kT,  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] o^x1`-  
 ~i1N6?  
诱导公式 tsef+KJTs  
_1|@v,Ys  
　　sin(-α) = -sinα DzQ ,EV  
*"SF|T  
　　cos(-α) = cosα $Np'tG7C=  
nW[.=_W  
　　sin(π/2-α) = cosα 27+# dp9v"  
/Do_Q{  
　　cos(π/2-α) = sinα Q sTd(/Tx  
QwBc\wc0  
　　sin(π/2+α) = cosα <X/ C)  
9BmzV'  
　　cos(π/2+α) = -sinα O}Q SzrV  
R`1B +}\  
　　sin(π-α) = sinα 3S5!+/?{  
T mSJ;E?  
　　cos(π-α) = -cosα _Se}0+\-e  
9Tx"!y.3  
　　sin(π+α) = -sinα kd>GM}  
|})[k`_os_  
　　cos(π+α) = -cosα HGVLg  
z<Yx, B-  
　　tanA= sinA/cosA )@N[=  
,EoWHs2  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα NW*<A@j4  
'k0G~!@m>  
　　tan（π/2－α）＝cotα HmJt_E{  
{i<8tV;|  
　　tan（π－α）＝－tanα #'dccu.  
36Y1)r  
　　tan（π＋α）＝tanα 2 vIhR  
r[Gt\(y  
万能公式 "$TfK&x  
_Ltq]t1  
　　 \|Y,q?V-@y  
dq7dSv\5z  
其它公式 ^,KC| I)u  
smn]p1v"  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 5B9s<V[vZ  
_zwW$4  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 M<Bq!@  
6;*S"n3D!  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 @U F:f 7[  
wvrkoI)  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 h9hguid8  
\)  
　　对于任意非直角三角形,总有 r9wu:v8Kwz  
l9Qz(q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC WlvI=!(cQ  
NPv[R/j  
　　证: ^K'g"2A9  
V89sz:,^Q  
　　A+B=π-C S W~<K.!o  
FkUCu)I  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 5?G@PIY` w  
ybQY[\,Q\  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) }Y6o;SL8n  
hNyH](m >a  
　　整理可得 eEa<g T"  
< x*&M~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2YQAE3p;  
OK$ KJY}k  
　　得证 PLUsp}N  
?>("{d  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 #dAy\sw*  
e>'6Vz  
其他非重点三角函数 $Mqp.BLF  
\L=6 -D  
　　csc(a) = 1/sin(a) 2jaA^%,A/  
cLY<3=:*j  
　　sec(a) = 1/cos(a) 3(u:ee~  
RQ?{v7T  
　　 rdQ3  
?h~-@E  
双曲函数 >K).@  
+XSL5="  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 8the\MXK}o  
u[/3NqJ  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 T@:Tv  
&PgDIO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) utaSkmR`  
uk>D3 l  
　　公式一： ^n\WE?h6  
`R&'u;i  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： .0eGe  
l>PIA(=V  
　　sin（2kπ＋α）= sinα vl3.2I  
0w1QQn"D  
　　cos（2kπ＋α）= cosα hWN^Fhu;  
b )vgL!  
　　tan（kπ＋α）= tanα b4"=D~{s  
r,;#gC>V+  
　　cot（kπ＋α）= cotα ;qUf{[ZUQ  
yHFjlhe  
　　公式二： M2uI_l?  
H#VB-G  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： &`ZDA uE  
;|oa%vc'  
　　sin（π＋α）= -sinα ZAA=Osq  
Pi-,oJ ,^  
　　cos（π＋α）= -cosα rJ,1f"V  
*GF#d9[M  
　　tan（π＋α）= tanα 3 ~nC >  
[`D &8  
　　cot（π＋α）= cotα mc$C"S?8W  
 w3sGI)L,  
　　公式三： i)6h*s  
>E.4 6R :  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： )j34S!@ Qe  
f{+;PE  
　　sin（-α）= -sinα >D_,0%Q  
6a-BeI4DN  
　　cos（-α）= cosα M!2/Zx  
i=Bt 5.NP'  
　　tan（-α）= -tanα :A =_IiN  
7v8z "j  
　　cot（-α）= -cotα LwVx3!d  
2G5.jsZ)l  
　　公式四： {'uzm7D  
$3NM5,y  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ]+EK$9z u  
h6{ UxhZ  
　　sin（π-α）= sinα /bZ! 9Z0  
e d3&/H  
　　cos（π-α）= -cosα i,6\v!|+T  
T{_d5sF  
　　tan（π-α）= -tanα :R,!-})y4B  
8vB| +\c  
　　cot（π-α）= -cotα 3qWo)i@  
+t-xX>PT  
　　公式五： "nRC2:A  
onnc>+  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 1+ qJ9*<  
tc7g-ne  
　　sin（2π-α）= -sinα SaT qklm  
e`C!M(zyw  
　　cos（2π-α）= cosα 2 C,G7C  
o[UD=2%  
　　tan（2π-α）= -tanα Bh</GH#  
sA]$o(^  
　　cot（2π-α）= -cotα iw@J2U%z/m  
A$,diM|&  
　　公式六： ~unAMWNi  
!G5Zqkj.Y  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： $PW70R4  
MK+>y3Y  
　　sin（π/2+α）= cosα &nyI_W6  
'Lm=;?4?{  
　　cos（π/2+α）= -sinα W^2HuiFM  
5mxF"rF  
　　tan（π/2+α）= -cotα }wsFp jN  
<&DPW=  
　　cot（π/2+α）= -tanα Y n<l+  
i7L `2L  
　　sin（π/2-α）= cosα |1,oxq  
 ;[I~$\  
　　cos（π/2-α）= sinα !S,|ix"  
{C:)h[  
　　tan（π/2-α）= cotα ' 5I:y9TvL  
S.Yx33Dm  
　　cot（π/2-α）= tanα \fl#=;1k  
Ic*} Bm-  
　　sin（3π/2+α）= -cosα q73YN6V  
*5k(> ?  
　　cos（3π/2+α）= sinα gE^[ {jh  
CosrJ`K&  
　　tan（3π/2+α）= -cotα \|I]@YuO  
Rs|NNeVB  
　　cot（3π/2+α）= -tanα z8+b%Eb:  
K"1K6;05"2  
　　sin（3π/2-α）= -cosα sri7LooJ]  
c>&8~x  
　　cos（3π/2-α）= -sinα MEA+wYkU  
,?;PVx  
　　tan（3π/2-α）= cotα sT ]\Lpl  
m|w[1g;T2  
　　cot（3π/2-α）= tanα u& ]C3  
AMW!  
　　(以上k∈Z) USX%&d,  
ByLCE>f  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 D1^z1P Z:  
jkcJWvP0t[  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Bu 9i5S  
[@}IvyAr5  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +6kN  
{A}_k>ry  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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