三角函数内容规律 i{HCi xN?
+=EGGA=W{
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. KvtUVv0H+R
M90u
)>m
1、三角函数本质: [f"kE#vQ6
NJ*{
9$t
三角函数的本质来源于定义 cGkMtdJp G
B%j0CH5
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 BlQ*l
gcpnjW~B$
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 /`oxX 4Zl
yBfC {UO
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: smuG
-.,I
n;q^'_pxXk
推导:
mDnh7d
{oS]]ZO@
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 F
[jE(
Be#zs'Ia
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) m >Z\#w
-"AWsbW,2
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d>*LXOEy
p`vtkF
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 echGBr4
'}{!c+nxB
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ]Wg%=6UW
?0M-TxJ/
[1] 5QgyoWdA
u]Rp9b"k
两角和公式 LED :
j8>80uM
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB j<rYW3
ig}xF"E(
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB eQM9t)|0p
#h;,^G7;
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _8~dx(jjX
wy$RTz0R!
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~iSlZe
C?;>cG5
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) LUG%Ci
ni[Zd?
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a_Bwff
}0 iy&}2O
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) ty@dAp
;\
E1B\[
6v
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ?[<B)'6
1w~+6
倍角公式 J ["vsL
{v&rWm?\
Sin2A=2SinA•CosA d.rbq@V&
ap`^"(W
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 O;,^8G2]
2mpq6g
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) F "5:{#;
}aq?l v}
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) I-n3_\
9e
a'6vYbb3}o
三倍角公式 Jp)6 Dse
/I# y698;
/{c"+.)Ylz
T&uZ\Ccr
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) B1Wy>=
(0}2j/m_
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Mrd-zr`#>[
Jj,6S0WP$K
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) e.[u/w7~K#
6k*7oCv
三倍角公式推导 T'T;%p
PpW Gz.`
sin3a embA#,h
5 W7dfR
8
=sin(2a+a) gR_wZNr491
)<;U==
=sin2acosa+cos2asina R\{ =[u,
IU}!VI8[x
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ,
qn2
>a
KcxX =:
=3sina-4sin³a pB?{{O`
d3R/]C%Pt
cos3a *"(WG}g6
_l#lq9Qpf'
=cos(2a+a) ?7;NEYN2q-
0u.mS*u:
=cos2acosa-sin2asina &E T=k%
>FFr=qb'
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2XFj4L|
\/J<CFUb
=4cos³a-3cosa ^iUr& 3
I"=[SqES
sin3a=3sina-4sin³a <
|KhiJm
[]Bc!}
=4sina(3/4-sin²a) '<T ~Ltp
2BUUz%cY=|
=4sina[(√3/2)²-sin²a] J.h!r.M)
NO
p&c*
=4sina(sin²60°-sin²a) Qen4iK2&S
0ctF^T E"
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 1d4t
f_'9zHy!
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]%\)|7MQ
5NtCRQ>
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <x/7J$
^ hPp Kw
cos3a=4cos³a-3cosa Og&;&p%R
GP$+qZ
=4cosa(cos²a-3/4) Po@-ryt+*
S:hQe~7`
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )vqf2.Qld
Z e
8S7
=4cosa(cos²a-cos²30°) [Nt{T[
`%H+twryb
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 58LPq_^C
8K1HiacK:
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =n_HI`X
:n`ceUIo
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) d XbxSOz
$ reOMV-2
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Q7x%9zjd
*eQ+MLH?|
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zJg
NA5aG
h >a.1,Yp
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) c:oL<+5%
+5GTJ!'cs
上述两式相比可得 6{
Glv
WM8aMZ
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c:b
hh$T/*
.%:;Y
半角公式 u;1
^\
wcdjQVM[AZ
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /$`^7H`
^Mc)e,fOR
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. u|{~Mj!n T
Nk:k(3L=
和差化积 }M~T~o
*(i=<
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W{:L7Fs1X
9 Uo_8\
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <g\q3ss#n
$~]Mmd>
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] WHu&mrW
"{*1}Ytj
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5r7e%s9xH
Y3}4MD_[
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6QCNb+
Vt"a,~gk=
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w{fehum!1
RnE!D,??H
积化和差 AS%K<<R
\$^]
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] tuo]Hrc$-
QCe!hzW5i
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >JL-k<GdL
EZ6Wx|Y?
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] &z1=Vn
neoz`{u*!
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &OXP0Ms2Y
!P9j{|4U
诱导公式 bE4VD486x
)/4+5hRg=
sin(-α) = -sinα
SY~QWL
;b9.9@n
cos(-α) = cosα LB}g)rhw
sk[Ll6DAdE
sin(π/2-α) = cosα WT:ajt
TL`K -=l
cos(π/2-α) = sinα +io&!Y6
tUn C->
sin(π/2+α) = cosα 6/. DYge
aR">!{v.
cos(π/2+α) = -sinα sk*xQmG
PE\[>ha,'
sin(π-α) = sinα *%Jh /lhg
8hyX{#M
cos(π-α) = -cosα 8'bSJ=@A
`O('<=P
sin(π+α) = -sinα t_]>hvZS
cIJ#Vq3+
cos(π+α) = -cosα W|;Qp
3T ut
tanA= sinA/cosA {(N
e}"
@o%'`#:n(-
tan(π/2+α)=-cotα XJf/Ga??
Eh3erFB
tan(π/2-α)=cotα >-FArd M:m
"?l?Ejad
tan(π-α)=-tanα Te^%P'U
10=9*j
tan(π+α)=tanα tzK:Z ;
05Ez'
万能公式 5g^\s6.4?t
NNU,hIZ@]v
W
PDWyj
@<n9~JJC
其它公式 T
kH<b
opJ5B1
(sinα)^2+(cosα)^2=1 6&|l|NDQ13
td}%k{
Q.
1+(tanα)^2=(secα)^2 3o&JycPg
V'A.*\`
1+(cotα)^2=(cscα)^2 RM{?H2
cpL'WB
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 LJ?.
'A
rGl>cW
对于任意非直角三角形,总有 Oq-.x<
5p"zcA
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MLeA?|fr
?_Hgk(W
证: (mY]w Jwy
u<L*`"(Z
A+B=π-C #l7( %7
1;EG )N"I
tan(A+B)=tan(π-C) 9to~i~7a
#M{<9k2e
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) dnJqtDe
0#@hSj}zy
整理可得 ,fL
V:LG
Ua^WYv5
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC lc2 ^&Iz
ota2KUq
得证 :
R0$Y1iI
:Vo+]t-0f
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4[W~Ha{z
Quc[9!(s
其他非重点三角函数 @3U-;55
fGk"f -
csc(a) = 1/sin(a) W6o\trL
&kuuo&!@Q
sec(a) = 1/cos(a) {)H~b?
Op{e
R 2sy
.$_1G}2+
Ob?r\`j"~~
双曲函数 __BUh8
j:`c1Bk?x
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bFB+s&U\"
g= 'rHKo{
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
H
Dgqn\}qW-
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oM,od4
|u[~<F|c?
公式一: Pc%n JR
|G(\W
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: Bn?LpQL5
8Y-g+o0r
sin(2kπ+α)= sinα t @R
_:Lv
/0D83P
cos(2kπ+α)= cosα >+=X|Z`
AK1rLU6
tan(kπ+α)= tanα 4+G@S;u!
=<nS@my
cot(kπ+α)= cotα \M)CCa`
^g0opt2 |
公式二: ;j\0O+L
f8xIc]
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: t$gKYYGZe
U-2{\f,
sin(π+α)= -sinα \*E=%.u
]<!Av2<-*
cos(π+α)= -cosα (g&-Scf
!LtwC^h
tan(π+α)= tanα w4G.e*k>K
g
A=tZ!\
cot(π+α)= cotα aje 9 I
] +&J/
公式三: o4YEOEPJ
z)t#hg:]
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: {xvs:D>n
Q
#.Bg
sin(-α)= -sinα P
3|>vDn
I&[tg@jg
cos(-α)= cosα ym)BV
Q'b5o2e
tan(-α)= -tanα
YPfeq8.
AX Z UJXL
cot(-α)= -cotα \cWt]rL8_
FM~k{iZCT
公式四: 9*Zf@K;8q
j OR167: 7
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ]@Vggk
C2c>0C3U
sin(π-α)= sinα |c]qb|B~[
M@a^70
cos(π-α)= -cosα v(.)/;
m
Ez:M;
tan(π-α)= -tanα Q(_I[*/a[
9_jJf8u
cot(π-α)= -cotα
Pq'TCEXV
7_f"}V>$
公式五: i"g|sN
9
_
`*0?
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: Uk52wHxAc
k5j5
(6TJ{
sin(2π-α)= -sinα #
8u.{
b0bgui P
cos(2π-α)= cosα 17|}(r
M10nHL=
tan(2π-α)= -tanα BBnUAh^}
N2,:@:A5{+
cot(2π-α)= -cotα Se"P=t6
.Sif&k>l
公式六: @U(),r3m
q
SZ%CI1Oq
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: V6w#kn%^
2r:/p 1]
sin(π/2+α)= cosα }G)8:_[c
7f LZ)-%"J
cos(π/2+α)= -sinα 2GN6Z
Cc& G\
tan(π/2+α)= -cotα C8RY-0\
y3EZRkI*r5
cot(π/2+α)= -tanα Mn^(
y{#3
B,x
sin(π/2-α)= cosα :1\94*a
d
gkJ;5
cos(π/2-α)= sinα F:5(F,C8
"tn|O6D
tan(π/2-α)= cotα 2YdwTV >"
N;{1'Z*~E
cot(π/2-α)= tanα ^p:3p*r+
Oc?Q^XT
sin(3π/2+α)= -cosα v,zU;d*G
4jNjqlB
cos(3π/2+α)= sinα iUSRN 1Hc
|
`V j79
tan(3π/2+α)= -cotα G"=WNB/G
;k/\w66~Iy
cot(3π/2+α)= -tanα $Vc ?v
`wP\4=\I*
sin(3π/2-α)= -cosα N&%43e O4`
9cV]TAh
]:
cos(3π/2-α)= -sinα [==_5D
/hHn<g|
tan(3π/2-α)= cotα DW`6.3TV
r/aJA"IvE-
cot(3π/2-α)= tanα ( 7u+NV@
"EWmaeRz!
(以上k∈Z) JG=KuKQ
TWER>
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^l@}<.mZ
xgapS
19"
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = [e
R t
oHRF7Q1
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d0A\eO4"U
c~/>r+\
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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