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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 i{HCi xN?  
+=EGGA=W{  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. KvtUVv0H+R  
M90u )>m  
　　1、三角函数本质： [f"kE#vQ6  
NJ*{ 9$t  
　　三角函数的本质来源于定义 cGkMtdJp G  
B%j0CH5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 BlQ*l  
gcpnjW~B$  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 / `oxX 4Zl  
yBfC {UO  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： smuG -.,I  
n;q^'_pxXk  
　　推导： mDnh7 d  
{oS]]ZO@  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 F [jE(  
Be#zs'Ia  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) m >Z\#w  
-"AWsbW,2  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) d>*LXOEy  
p`vtkF  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 echGBr4  
'}{!c+nxB  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ]Wg% =6UW  
?0M-TxJ/  
　　[1] 5QgyoWdA  
u]Rp9b"k  
　　两角和公式 LED :  
j8>80uM  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB j<rYW3  
ig}xF"E(  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  eQM9t)|0p  
#h;,^G7;  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _8~dx(jjX  
wy$RTz0R!  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~iSlZe  
C?; >c G5  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) LUG%Ci  
ni[Zd?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a_ Bwff  
}0iy&}2O  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ty@dAp ;\  
E1B\[ 6v  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ?[<B)'6  
1w~+6  
倍角公式 J["v sL  
{v&rWm?\  
　　Sin2A=2SinA•CosA d.rbq@V&  
ap`^"(W  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 O;,^8G2]  
2mpq6g  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） F "5:{#;  
}aq?l v}  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） I-n3_\ 9e  
a'6vYbb3}o  
三倍角公式 Jp)6 Dse  
/I# y698;  
　　 /{c"+.)Ylz  
T&uZ\Ccr  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) B1Wy>=  
(0}2j/m_  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Mrd-zr`#>[  
Jj,6S0WP$K  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) e.[u/w7~K#  
6k*7oCv  
三倍角公式推导 T'T;%p  
PpW Gz.`  
　　sin3a embA#,h  
5W7dfR 8  
　　=sin(2a+a) gR_wZNr491  
)<;U==  
　　=sin2acosa+cos2asina R\{ =[u,  
IU}!VI8[x  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina , qn2 >a  
K cxX =:  
　　=3sina-4sin³a pB?{{O`  
d3R/]C%Pt  
　　cos3a *"(W G}g6  
_l#lq9Qpf'  
　　=cos(2a+a) ?7;NEYN2q-  
0u.mS*u:  
　　=cos2acosa-sin2asina &E T=k%  
>FFr=qb'  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 2XFj4L|  
\/J<CFUb  
　　=4cos³a-3cosa ^iUr&3  
I"=[SqES  
　　sin3a=3sina-4sin³a < |KhiJm  
[]Bc!}  
　　=4sina(3/4-sin²a) '<T ~Ltp  
2BUUz%cY=|  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J.h!r.M)  
NO p&c*  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Qen4iK2&S  
0ctF^TE"  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 1d4 t  
f_'9zHy!  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ]%\)|7MQ  
5NtCRQ>  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <x /7J$  
^ hPp Kw  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Og&;&p%R  
GP$+qZ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Po@-ryt+*  
S:hQe~7`  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] )vqf2.Qld  
Z e 8S7  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) [Nt {T[  
`%H+twryb  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 58LPq_^C  
8K1HiacK:  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =n_HI`X  
:n`ceUIo  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) d XbxSOz  
$reOMV-2  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Q7x%9zjd  
*eQ+MLH?|  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] zJg NA5aG  
h>a.1,Yp  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) c:oL <+5%  
+5GTJ!'cs  
　　上述两式相比可得 6{ Glv  
WM8aM Z  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) c:b hh$T/*  
.%:; Y  
半角公式 u;1 ^\  
wcdjQVM[AZ  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); /$`^7 H`  
^Mc)e,fOR  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. u|{~Mj!n T  
Nk:k(3L=  
和差化积 }M~T~o  
*( i=<  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W{: L7Fs1X  
9Uo_8\  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <g\q3ss#n  
$~]Mmd>   
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] WHu&mrW  
"{*1}Ytj  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 5r7e%s9xH  
Y3}4MD_[  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 6QCNb+  
Vt"a,~gk=  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) w{fehum!1  
Rn E!D,??H  
积化和差 AS%K<<R  
\$^]  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] tuo]Hrc$-  
QCe!hzW5i  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] >JL-k<GdL  
EZ6Wx|Y?  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] &z1=Vn  
neoz`{u*!  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &OXP0Ms2Y  
!P9j{|4U  
诱导公式 bE4VD486x  
)/4+5hRg=  
　　sin(-α) = -sinα SY~QWL  
;b9.9@n  
　　cos(-α) = cosα LB}g)rhw  
sk[Ll6DAdE  
　　sin(π/2-α) = cosα WT:ajt  
T L`K-=l  
　　cos(π/2-α) = sinα +io& !Y6  
tUn C->  
　　sin(π/2+α) = cosα 6/.DYge  
aR">!{v.  
　　cos(π/2+α) = -sinα sk*xQmG  
PE\[>ha,'  
　　sin(π-α) = sinα *%Jh /lhg  
8hyX{#M  
　　cos(π-α) = -cosα 8'bSJ=@A  
`O('<=P  
　　sin(π+α) = -sinα t_]>hvZS  
cIJ#Vq3+  
　　cos(π+α) = -cosα W|;Qp  
3T ut  
　　tanA= sinA/cosA {(N e}"  
@o%'`#:n(-  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα XJf/Ga??  
Eh3 erFB  
　　tan（π/2－α）＝cotα >-FArd M:m  
"?l?Ejad  
　　tan（π－α）＝－tanα Te^%P'U  
10=9*j  
　　tan（π＋α）＝tanα tzK:Z ;  
05Ez'  
万能公式 5g^\s6.4?t  
NNU,hIZ@]v  
　　 W PDWyj  
@<n9~JJC  
其它公式 T kH<b  
opJ5B1  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 6&|l|NDQ13  
td}%k{ Q.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 3o&JycPg  
V'A .*\`  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 RM{?H2  
cpL'WB  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 LJ?. 'A  
rGl>cW  
　　对于任意非直角三角形,总有 Oq-.x<  
5p"zcA  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC MLeA?|fr  
?_Hgk(W  
　　证: (mY]w Jwy  
u<L*`"(Z  
　　A+B=π-C #l7( %7  
1;EG )N"I  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 9to~i~7a  
#M{<9k2e  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) dnJqtDe  
0#@hSj}zy  
　　整理可得 ,fL V:LG  
Ua^WYv5  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC lc2 ^&Iz  
ot a2KUq  
　　得证 : R0$Y1iI  
:Vo+]t-0f  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 4[W~Ha{z  
Quc[9!(s  
其他非重点三角函数 @3U-;55  
fGk"f -  
　　csc(a) = 1/sin(a) W6o\trL  
&kuuo&!@Q  
　　sec(a) = 1/cos(a) {)H ~b?  
Op{e R 2sy  
　　 .$_1G}2+  
Ob?r\`j"~~  
双曲函数 __BUh8  
j:`c1Bk?x  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 bFB+s&U\"  
g='rHKo{  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2   H   
Dgqn\}qW-  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oM,od4  
|u[~<F|c?  
　　公式一： Pc%n JR  
|G(\W  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Bn?LpQ L5  
8Y-g+o0r  
　　sin（2kπ＋α）= sinα t @R _:Lv  
/0 D83P  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >+=X|Z`  
AK1rLU6  
　　tan（kπ＋α）= tanα 4+G@S;u!  
=<nS@my  
　　cot（kπ＋α）= cotα \M)CCa `  
^g0opt2 |  
　　公式二： ;j\0O+L  
f8xIc]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： t$gKYYGZe  
U-2 {\f,  
　　sin（π＋α）= -sinα \*E=%.u  
]<!Av2<-*  
　　cos（π＋α）= -cosα (g&-Scf  
!LtwC^h  
　　tan（π＋α）= tanα w4 G.e*k>K  
g A=tZ!\  
　　cot（π＋α）= cotα aje 9I  
] +&J/  
　　公式三： o4YEOEPJ  
z)t#hg:]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： {xvs:D>n  
Q #.Bg  
　　sin（-α）= -sinα P 3|>vDn  
I&[tg@jg  
　　cos（-α）= cosα ym) BV  
Q'b5o2e  
　　tan（-α）= -tanα YPfeq8.  
AX ZUJXL  
　　cot（-α）= -cotα \cWt]rL8_  
FM ~k{iZCT  
　　公式四： 9*Zf@K;8q  
j OR167: 7  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： ]@Vggk  
C2c>0C3U  
　　sin（π-α）= sinα |c]qb| B~[  
M@a^70  
　　cos（π-α）= -cosα v(.)/;  
m Ez:M;  
　　tan（π-α）= -tanα Q(_I[*/a[  
9_jJf8u  
　　cot（π-α）= -cotα Pq'TCEXV  
7_f"}V>$  
　　公式五： i"g|sN 9  
_ `*0?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Uk52wHxAc  
k5j5 (6TJ{  
　　sin（2π-α）= -sinα # 8u.{  
b0bgui P  
　　cos（2π-α）= cosα 17|}(r  
M10 nHL=  
　　tan（2π-α）= -tanα BBnUAh^}  
N2,:@:A5{+  
　　cot（2π-α）= -cotα Se"P=t 6  
.Sif&k>l  
　　公式六： @U(),r3m q  
SZ%CI1Oq  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： V6w#kn%^  
2 r:/p 1]  
　　sin（π/2+α）= cosα }G)8:_[c  
7f LZ)-%"J  
　　cos（π/2+α）= -sinα 2G N6Z  
Cc& G\  
　　tan（π/2+α）= -cotα C8RY-0\  
y3EZRkI*r5  
　　cot（π/2+α）= -tanα Mn^(  
y{#3 B,x  
　　sin（π/2-α）= cosα :1\94*a  
d gkJ;5  
　　cos（π/2-α）= sinα F:5(F,C8  
"tn |O6D  
　　tan（π/2-α）= cotα 2YdwTV>"  
N;{1'Z*~E  
　　cot（π/2-α）= tanα ^p:3p*r+  
Oc?Q^XT  
　　sin（3π/2+α）= -cosα v,zU;d*G  
4jNjqlB  
　　cos（3π/2+α）= sinα iUSRN 1Hc  
| `V j79  
　　tan（3π/2+α）= -cotα G"=WNB/G  
;k/\w66~Iy  
　　cot（3π/2+α）= -tanα $Vc?v  
`wP\4=\I*  
　　sin（3π/2-α）= -cosα N&%43e O4`  
9cV]TAh ]:  
　　cos（3π/2-α）= -sinα [==_5D  
/hHn<g|  
　　tan（3π/2-α）= cotα DW`6.3TV  
r/aJA"IvE-  
　　cot（3π/2-α）= tanα ( 7 u+NV@  
"EWmaeRz!  
　　(以上k∈Z) JG=KuKQ  
 TWER>  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^l@}<.mZ  
xgapS 19"  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = [e Rt  
oHRF7Q1  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d0A\eO4"U  
c~/>r+\  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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