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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 "#V~P>\m Q  
\9L;KPJNl  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 86e^w+%  
BNr_C$K  
　　1、三角函数本质： G BfeJ:+  
ip6Odr3k  
　　三角函数的本质来源于定义 3+uX Z'   
H/e=JzY9  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Y#:UQ) f  
Ad?.+}  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 uP<ni9PC.  
6v7OO' [  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： iZv $!]wg  
ZU32zX  
　　推导： n;t: 2nz  
mRo s)|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 GC"s[-p-  
\~tunVZkG  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ~"_Ytbh's  
&-~pr+}L  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~uFRS)&4  
`*rvz  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ekKJa~8  
u+u*yF6  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Tji yr  
%9Xdc("*  
　　[1] ?"~,^M y  
) $X M;&  
　　两角和公式 7)?L[m6SL  
-5QTW'kn?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB q fI+1p  
g8^j}/;$  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  rEPW:PV  
7}Zj|&  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 3NvA2^&  
R7\@V7ZY  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ^$qy:c Qs  
t9=5h<uyV/  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) JliNtWtD  
. 0fnp;}z  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *]$7?56`  
yqaX_!Q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  W812SAQ  
*%YwF#'S  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6Azi:'v  
 .5TpR}  
倍角公式 G'9{^*11  
4= 8?  
　　Sin2A=2SinA•CosA ww\d,pPIQ  
.>aE)ZS=  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }|V![v o  
>N;mu@y  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） kZxgy7d 0  
FFGel1Zk  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） GW1k&I  
|sB>jGCEk  
三倍角公式 x7<qzf{vn#  
GMHY L-'  
　　 kE geZuf  
nvf=MdS\2  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) UJ^Ck]  
hVjl( W#  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) l*!$Xd"'!  
'/esIB08w  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ;6nCF+  
)n]L1,/  
三倍角公式推导 FoFyl}qPp  
^[+ }4M^n  
　　sin3a 'x42#&f+  
'TmUr0D$  
　　=sin(2a+a) FrBXl0_0  
c*d~`u  
　　=sin2acosa+cos2asina H*&eBGo[C  
DAtcpyT"  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina dx)Gwh  
~9~AJK[NV  
　　=3sina-4sin³a %?pOTA`r  
to>66  
　　cos3a 0}zd`M  
2wHz o.QC  
　　=cos(2a+a) U{[@j  
:'z0qWRh  
　　=cos2acosa-sin2asina E-\ 9S">&  
9x ^/MKz  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M2aJv  
:wqkis5m  
　　=4cos³a-3cosa sNZ1IMWA  
`3p1 A#oF  
　　sin3a=3sina-4sin³a Bo@%Y:   
?eksx  
　　=4sina(3/4-sin²a) .. coU  
OqVNLh9$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,$+=8zmw>%  
g|\^(<RM*b  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) *w^_Yzb'  
r^V)>ES9  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @XVC31\Yu  
 /g/^E  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Lea0BX)gi1  
>HW$TeHtr  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) {os:[$4zOi  
oYSoxoQ] m  
　　cos3a=4cos³a-3cosa I(7o#AQ  
7%`@ISM&  
　　=4cosa(cos²a-3/4) (e$f,Qm2^  
Ntw!" rH#)  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] p]y0wA z2v  
@VF%:F6@  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 6[0eWf4  
+Q&75)(okA  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) f2ETS<)RjT  
;n9m|>  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}  To[Cr  
U IhA  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) FgXz H=Rj  
X:X-::  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] c SAqTR;  
]2_waiZkt  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0w{.@rIZ  
U*l#t o"c  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ^i+ 9{$  
[~J@-y+K  
　　上述两式相比可得 Y<p+Msu?  
\Z8t}f]p  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ud w 5!  
XF#1qd  
半角公式 7E3089>  
ZEg>V^uX  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +"*IVVdod  
a$5 mG'p  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {![a:"\0  
,, ,OQ  
和差化积 1^ w4[ MwZ  
8IO_ Ks~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I[L e@  
zk}hy%uZ  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1YN"RFL\p  
W[`S 1>  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] QRGa@0Va  
aox>w  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~,B}ej  
}:'lv~_jQ%  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1-Dh5 o  
{iFa#D  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Ut^ksF?  
|QI@}NwE!  
积化和差 E 0^|m  
W}Fo{WBa  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] OJ J/Ea  
V5bah&Em  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] aZJ\06|  
10&7 %Az  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] T( b#!=2\  
rm2M=  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] P +1 Rf  
B| e[ _  
诱导公式 G4',bjq  
m_'c*rL.2  
　　sin(-α) = -sinα f2+ #SF!w  
'Ex8b^F  
　　cos(-α) = cosα h+!y(  
$ Fkn8[E  
　　sin(π/2-α) = cosα }v2!`e `  
<{@[J+*  
　　cos(π/2-α) = sinα $ 0'r:F  
(-iVec%S  
　　sin(π/2+α) = cosα 3.:h3EmQ  
fh0)%N~  
　　cos(π/2+α) = -sinα n7xFk6OW,  
6Kh4<  
　　sin(π-α) = sinα %]M4 -wO  
R7}W"9G7S  
　　cos(π-α) = -cosα .GmE\- v  
"h_bCcm  
　　sin(π+α) = -sinα ntB _4X  
q u,w2   
　　cos(π+α) = -cosα "&UkZ<e_>Z  
'l I6KD38  
　　tanA= sinA/cosA D{zf  
6&YX|}!p  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα <"?!Of5.|  
-tEy~,S  
　　tan（π/2－α）＝cotα &p6iEG"3+  
3v]f?q x  
　　tan（π－α）＝－tanα wHScv9;:  
MUv<<I!  
　　tan（π＋α）＝tanα gX#"mw  
!+4p  
万能公式 }h#a\  
Cb$anvO+  
　　  &$jF  
//W:Y4  
其它公式 Um?}UV X  
m ? g-Y<  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 G Z }Sc\  
:'NT +[?  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Md(;fkTt  
';'|.I  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 9MB;IJ  
 E'V[k^  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 fVp1j  
5[qx ~ as  
　　对于任意非直角三角形,总有 Q7Z  
3H?P   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ka:BPaN9m  
tUPz1&Do'  
　　证: pV$1 5TYN  
[8 KtBI1#  
　　A+B=π-C ^F.^ {  
qOJqBr+_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) '8'm  
`m C  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) sV-r~e<  
lS@}Thm  
　　整理可得 ={Z ~#  
s5-E  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gS`aigQ  
I(l5]W`*$  
　　得证 3 ?G/23sK  
1}qVFlA5V  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 28;8OFE 46  
W Sk'fc]  
其他非重点三角函数 >`Z9IQ{  
mw`uT3DD2  
　　csc(a) = 1/sin(a) H3nF!i  
`Tw3s`-b  
　　sec(a) = 1/cos(a) <tc!2'  
QcXeS X  
　　 fV&YT$g >  
z"nw%lA  
双曲函数 \ X/0Q  
.)&yk  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 BcB6&f=b  
(m,:Rq 3  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =+=y(X B_k  
(WGi3=p  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ]xEi'ByX  
\3+vW @Tx  
　　公式一： y$ZmKjLs  
RB#(4o?iu  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： I;-yA8gj(  
y% &?Q,k  
　　sin（2kπ＋α）= sinα  EaOZ|  
10eb az4:e  
　　cos（2kπ＋α）= cosα [rUu82g=8  
,,@\IR%  
　　tan（kπ＋α）= tanα _C +Z Fw}{  
p 3Y,(SS  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0:}C*I-_zI  
Jgl8<wf  
　　公式二： _ZToPP$  
n?oJjcW  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： igukyUXpc  
:O(n!PwG  
　　sin（π＋α）= -sinα 0 Co I8=  
f+0 grO  
　　cos（π＋α）= -cosα >Pq%@R  
UZ@!0 L  
　　tan（π＋α）= tanα ~R@ {GA %  
q$$^) !i<  
　　cot（π＋α）= cotα $( mfeH  
T[NSy^Js,  
　　公式三： xc,5 ae5  
Sb&u?  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： V( WuHW-H  
j!KB>  
　　sin（-α）= -sinα ^&ah%S52  
%^ 'R0  
　　cos（-α）= cosα XENEncZq 7  
=x <|'  
　　tan（-α）= -tanα Up/dL&J\6  
LLqa}^fw  
　　cot（-α）= -cotα Ubng6D6je  
R=**Q;;./'  
　　公式四： o>UVh  
ni4.h.'7   
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： #XrVFV  
v3`5zj-:  
　　sin（π-α）= sinα X9b>HLP  
hLVhqZa  
　　cos（π-α）= -cosα {6a{~b>g>  
tzJ<BzP  
　　tan（π-α）= -tanα ?oS'[ ;9N  
uU1y }>  
　　cot（π-α）= -cotα Le76v56k  
l@\A"41%  
　　公式五： &;:F(AO  
Lszn`tC}  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： avzH9p<sk  
K.\\V  
　　sin（2π-α）= -sinα t(sRP;N{  
]m L,UT  
　　cos（2π-α）= cosα 8ej.tbi!{  
ToLmSF|\pz  
　　tan（2π-α）= -tanα [F"tT!_%  
Q]Yl VC!/Q  
　　cot（2π-α）= -cotα B7A^28  
)K xru@0o  
　　公式六： h_$T=M+x  
#fjmg s39  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： S&6G+!YrGs  
k^-1p6JTq  
　　sin（π/2+α）= cosα 64xd`FF"i  
~H|<Qw  
　　cos（π/2+α）= -sinα ;G|<E8a  
-i^ 8^;  
　　tan（π/2+α）= -cotα .i1aYn&a  
,n?oYt'  
　　cot（π/2+α）= -tanα xfc`J rU  
? tfSRd  
　　sin（π/2-α）= cosα TNF}:ad  
-=Wnx+'(`-  
　　cos（π/2-α）= sinα /N 8y5j9  
3X"YBc+lsp  
　　tan（π/2-α）= cotα ,MJFIdVg  
VOu 3k#T5  
　　cot（π/2-α）= tanα ~5.D Zsf  
#g>jpEj'<  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V#PW#C  
_C9u4Y  
　　cos（3π/2+α）= sinα UG; _%5Ro  
'u|8"2#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα eMgTVM  
yl$jayAX  
　　cot（3π/2+α）= -tanα a`cU}GK  
G O-8  
　　sin（3π/2-α）= -cosα z~x\  
On;XY0)f  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 5C.TN  
e#(XeL7 Xm  
　　tan（3π/2-α）= cotα I-kG"H-H  
lwu_u.4  
　　cot（3π/2-α）= tanα f=Eb!  w  
W'YdR..8P  
　　(以上k∈Z) *<bmPz  
R9=jrsAFT+  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3%\YSQ  
5e2O0&m4!  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ==7qe!#  
_P(9wyvN;  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3F$xvX +  
[Kdn^ m98  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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