三角函数内容规律 "#V~P>\m
Q
\9L;KPJNl
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 86e^w+%
BNr_C$K
1、三角函数本质: G BfeJ:+
i p6Odr3k
三角函数的本质来源于定义 3+uX
Z'
H/e=JzY9
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Y#:UQ)
f
Ad?.+}
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 uP<ni9PC.
6v7OO'[
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: iZv
$!]wg
ZU32zX
推导: n;t: 2nz
mRo
s)|
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 GC"s[-p-
\~tunVZkG
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ~"_Ytbh's
&-~pr+}L
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ~uFRS)&4
`*rvz
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ekKJa~8
u+u*yF6
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) Tjiyr
%9Xdc("*
[1] ?"~,^My
)
$X
M;&
两角和公式 7)?L[m6SL
-5QTW'kn?
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB q fI+1p
g8^j}/;$
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB r EPW:PV
7}Zj|&
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 3NvA2^&
R7\@V7ZY
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ^$qy:c
Qs
t9=5h<uyV/
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) JliNtWtD
. 0fnp;}z
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) *]$7?56`
yqaX_!Q
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) W812SAQ
*%YwF#'S
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 6Azi:'v
.5TpR}
倍角公式 G'9{^*11
4= 8?
Sin2A=2SinA•CosA ww\d,pPIQ
.>aE)ZS=
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }|V![v
o
>N;mu@y
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) kZxgy7d0
FFGel1Zk
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) GW1k&I
|sB>jGCEk
三倍角公式 x7<qzf{vn#
GMHY
L-'
kEgeZuf
nvf=MdS\2
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) UJ^ Ck]
hVjl(W#
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) l*!$Xd"'!
'/esIB08w
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ;6nCF+
)n]L1,/
三倍角公式推导 FoFyl}qPp
^[+ }4M^n
sin3a 'x42#&f+
'TmUr0D$
=sin(2a+a) FrBXl0_0
c*d~`u
=sin2acosa+cos2asina H*&eBGo[C
DAtcpyT"
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina dx)Gwh
~9~AJK[NV
=3sina-4sin³a %?pOTA`r
to>66
cos3a
0}zd`M
2wHz
o.QC
=cos(2a+a) U{[@j
:' z0qWRh
=cos2acosa-sin2asina E-\9S">&
9x^/MKz
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M2aJv
:wqkis5m
=4cos³a-3cosa sNZ1IMWA
`3p1 A#oF
sin3a=3sina-4sin³a Bo@%Y:
?eksx
=4sina(3/4-sin²a) .. coU
OqVNLh9$
=4sina[(√3/2)²-sin²a] ,$+=8zmw>%
g|\^(<RM*b
=4sina(sin²60°-sin²a) *w^_Yzb'
r^V)>ES9
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) @XVC31\Yu
/g/^E
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] Lea0BX)gi1
>HW$TeHtr
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) {os:[$4zOi
oYSoxoQ]
m
cos3a=4cos³a-3cosa I(7o#AQ
7%`@ISM&
=4cosa(cos²a-3/4) (e$f,Qm2^
Ntw!" rH#)
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] p]y0wA z2v
@VF%:F6@
=4cosa(cos²a-cos²30°) 6[0eWf4
+Q&75)(okA
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) f2ETS<)RjT
;n9m|>
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} To[Cr
U
IhA
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) FgXz
H=Rj
X:X-::
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] c
SAqTR;
]2_waiZkt
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 0w{.@rIZ
U*l#t
o"c
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ^i+ 9{$
[~J@-y+K
上述两式相比可得 Y<p+Msu?
\Z8t}f]p
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ud
w5!
XF#1qd
半角公式 7E3 089>
ZE g>V^uX
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); +"*IVVdod
a$5
mG'p
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. {![a:"\0
,,
,OQ
和差化积 1^ w4[MwZ
8IO_Ks~
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I[Le@
zk}hy%uZ
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 1YN"RFL\p
W[`S 1>
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] QRGa@0Va
aox>w
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ~,B}ej
}:'lv~_jQ%
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1-Dh5o
{iF a#D
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Ut^ksF?
|QI@}NwE!
积化和差 E 0^|m
W}Fo{WBa
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] O J J/Ea
V5bah&Em
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] aZJ\06|
10&7
%Az
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] T(b#!=2\
rm2M=
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] P+1 Rf
B| e[
_
诱导公式 G4',bjq
m_'c*rL.2
sin(-α) = -sinα f2+ #SF!w
'E x8b^F
cos(-α) = cosα h+!y(
$Fkn8[E
sin(π/2-α) = cosα }v2!`e `
<{@[J+*
cos(π/2-α) = sinα $0'r:F
(-iVec%S
sin(π/2+α) = cosα 3.:h 3EmQ
fh0)%N~
cos(π/2+α) = -sinα n7xFk6OW,
6Kh4<
sin(π-α) = sinα %]M4
-wO
R7}W"9G7S
cos(π-α) = -cosα .GmE\-v
"h_bCcm
sin(π+α) = -sinα ntB _ 4X
q
u,w2
cos(π+α) = -cosα "&UkZ<e_>Z
'l I6KD38
tanA= sinA/cosA D{zf
6&YX|}!p
tan(π/2+α)=-cotα <"?!Of5.|
-tEy~,S
tan(π/2-α)=cotα &p6iEG"3+
3v]f?q x
tan(π-α)=-tanα wHScv9;:
MUv<<I!
tan(π+α)=tanα gX#"mw
!+4p
万能公式
}h#a\
Cb$anvO+
&$jF
//W:Y4
其它公式 Um?}UV
X
m?
g-Y<
(sinα)^2+(cosα)^2=1 G
Z
}Sc\
:'NT
+[?
1+(tanα)^2=(secα)^2 Md(;fkTt
';'|.I
1+(cotα)^2=(cscα)^2 9MB;IJ
E'V[k^
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 fVp1j
5[qx~ as
对于任意非直角三角形,总有 Q7Z
3H?P
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Ka:BPaN9m
tUPz1&Do'
证: pV$15TYN
[8KtBI1#
A+B=π-C ^F.^
{
qOJqBr+_
tan(A+B)=tan(π-C) '8'm
`m
C
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) sV-r~e<
lS@}Thm
整理可得 ={Z~#
s5-E
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC gS`aigQ
I(l5]W`*$
得证 3
?G/23sK
1}qVFlA5V
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 28;8OFE
46
WSk'f c]
其他非重点三角函数 >`Z9IQ{
mw`uT3DD2
csc(a) = 1/sin(a) H3nF!i
`Tw3s`-b
sec(a) = 1/cos(a) <tc!2'
QcXeS
X
fV&YT$g>
z"nw%lA
双曲函数
\
X/0Q
.)&yk
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 BcB6&f=b
(m,:Rq 3
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 =+=y(X B_k
(WGi3=p
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ]xEi'ByX
\3+vW@Tx
公式一: y$ZmKjLs
RB#(4o?iu
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: I;-yA8gj(
y%&?Q, k
sin(2kπ+α)= sinα EaOZ|
10eb az4:e
cos(2kπ+α)= cosα [rUu82g=8
,,@\IR%
tan(kπ+α)= tanα _C
+ZFw}{
p 3Y,(SS
cot(kπ+α)= cotα 0:}C*I-_zI
Jgl8<wf
公式二: _ZT oPP $
n?oJjcW
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: igukyUXpc
:O(n!PwG
sin(π+α)= -sinα 0 CoI8=
f+0
grO
cos(π+α)= -cosα >Pq%@R
UZ@!0L
tan(π+α)= tanα ~R@ {GA %
q$$^)!i<
cot(π+α)= cotα $(
mfeH
T[NSy^Js,
公式三: xc,5 ae5
Sb&u?
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: V(WuHW-H
j!KB>
sin(-α)= -sinα ^&ah%S52
%^'R0
cos(-α)= cosα XENEncZq7
=x
<|'
tan(-α)= -tanα Up/dL&J\6
LLqa}^fw
cot(-α)= -cotα Ubng6D6je
R=**Q;;./'
公式四: o>UVh
ni4.h.'7
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: #Xr VFV
v3`5zj-:
sin(π-α)= sinα X9b>HLP
hLVhqZa
cos(π-α)= -cosα {6a{~b>g>
tzJ<BzP
tan(π-α)= -tanα ?oS'[;9N
uU1y
}>
cot(π-α)= -cotα Le76v56k
l@\A"41%
公式五: &;:F(AO
Lszn`tC}
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: avzH9p<sk
K.\\V
sin(2π-α)= -sinα t(sRP;N{
]mL,UT
cos(2π-α)= cosα 8ej.tbi!{
ToLmSF|\pz
tan(2π-α)= -tanα [F"tT!_%
Q]YlVC!/Q
cot(2π-α)= -cotα B7A^28
)K
xru@0o
公式六: h_$T=M+x
#fjm g s39
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: S&6G+!YrGs
k^-1p6JTq
sin(π/2+α)= cosα 64xd`FF"i
~H|<Qw
cos(π/2+α)= -sinα ;G|<E8a
-i^8^;
tan(π/2+α)= -cotα .i1aYn&a
,n?oYt'
cot(π/2+α)= -tanα xfc`J rU
?tfSRd
sin(π/2-α)= cosα TNF}:ad
-=Wnx+'(`-
cos(π/2-α)= sinα /N 8y5j9
3X"YBc+lsp
tan(π/2-α)= cotα ,MJFIdVg
VOu3k#T5
cot(π/2-α)= tanα ~5.DZsf
#g>jpEj'<
sin(3π/2+α)= -cosα V#PW#C
_C9u4Y
cos(3π/2+α)= sinα UG; _%5Ro
'u|8"2#
tan(3π/2+α)= -cotα eMgTVM
yl$jayAX
cot(3π/2+α)= -tanα a`cU}GK
G
O-8
sin(3π/2-α)= -cosα z~x\
On;XY0)f
cos(3π/2-α)= -sinα 5C.TN
e#(XeL7Xm
tan(3π/2-α)= cotα
I-kG"H-H
lwu_u.4
cot(3π/2-α)= tanα f=Eb! w
W'YdR..8P
(以上k∈Z) *<bmPz
R9=jrsAFT+
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 3%\YSQ
5e2O0&m4!
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ==7qe!#
_P(9wy vN;
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 3F$xvX +
[Kdn^ m98
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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