三角函数内容规律 f
Lb0/U2
nNx6P@{|
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;H)h}>X\
;9[ )m7*
1、三角函数本质: T!C\$_,
.b#fb|H
三角函数的本质来源于定义 Q{`A6)6`
ZrCK|yj
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 t-]Rlo}B;!
Z77)h3wyq
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 VIJ{#J#K
d`mOKlj_K8
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: oauIQcX%Om
ZBD{..h
推导: \iWR,JE
w&rD6)D
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 Mp #bBu
a*\ Yu
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0czG1('s
Zo
2EP
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @
h 1 ;2
~1{lq?nE/
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +PvQF=lM
]#dd##x
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) M:BN954+&
F`+mW
[1] X4#OsfoZd
uL2dP}480
两角和公式 b0d_J
"
?-O)*+
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `*&^s!ei
nizY Pus
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 8o0q&_XB
n;y
+i$
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _d}$v"se
8RTm4I}v
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Y@8'oL#YN
[+UiXxT>
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~< Xy/mJ
`kZ/u$ 0
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) hP !$]
D:={I;3l
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) e igg1p
G"F{hGE|vL
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4_oK41+
3p<p!-Dn
倍角公式 j^Hmhwyl1
<M4S0wa h
Sin2A=2SinA•CosA <k|JeYn
l
[Px=Hy*9j
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ylt(7Uh
1]<V]Y*
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) do3#lW0L#
iL[nhO^
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Njo-]yg
!WL`6bMx
三倍角公式 o?I
P,$.B
jI&C>?j
*Zd/$Z !
x(k(^ [
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) t{|[x4$
(~{-JKe|
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tk~nq`
lnpq=]|QAD
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) vk{GolW
@"yvr0P
三倍角公式推导 !g
'Mzu
O>_'/mLxG
sin3a dtpg2DN0Z
x_(GW
=sin(2a+a) TN]'z)SIg
d[sRvk:
=sin2acosa+cos2asina PlJJc K
O`y(Oh3ah2
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S@3A0=M>S
#QTQvyw $F
=3sina-4sin³a
t!0W,(63
( .tR6Z
cos3a =\`qe
GL
'G$-J`k
=cos(2a+a) 1,'}zp2u
%Qrzv8
=cos2acosa-sin2asina (ZR=A1U
3/
1!f
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa t@FXj,4t
;BYj ]6
=4cos³a-3cosa }j@%yYCE
=eU:_j?i
sin3a=3sina-4sin³a cb,;
v*D7Y
_/{?pG
=4sina(3/4-sin²a) !7yInQi*
}E`2&s_3l
=4sina[(√3/2)²-sin²a] Y@G)Iw ` c
WQ#7M>Y!
=4sina(sin²60°-sin²a) >1@mjKK5
>>&<Ri]#
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) iL
*<'
9>7Kj~cRd
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :B6bc?c P(
LZ,'OrI
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Pdred}gX
Q$Au,Dj
cos3a=4cos³a-3cosa maY9k=<C!
Y[{o*W
=4cosa(cos²a-3/4) ne}d@NKu5
FliQDI
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] c&6$kn
I}u{{a^:E
=4cosa(cos²a-cos²30°) WQC uVC
Z~B*EDhFE
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }Y2X474y
Z+eHGO%Pp
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} acYe
$ls
i$.Tix"dj
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Rwuy^{w:
1(rB]U:~(
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ga&g4&lg^
f r|1^)'
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `:2v>N
oRuYEJ
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )ic)3V(
Ly$Qa=^ }@
上述两式相比可得 >+3 #6p
%Dqe.`N
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4#p^&F_FF
7\z4]
半角公式 K(JES:u
)wW:&b
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 'sBjGN..
-QZ@A"X
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `@6qr6
]I<ph>)
和差化积 8
'@-FE|nt
*17lxa?
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] T41
y
w5O/Ry+:
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <zh5O%6EG
,,?RS~D
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ++>og2Q)
}d!.C'0.
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o
1;_
/i|Jl 1
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1
S3;t*
a?V{YOzT
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) H1#Wfx;
bBkGW<\<
积化和差 "tL"8bS
df<;4<
$
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] g<Z"Dpu
9/!hEv
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] t?<3OqdI
_b"k]nh
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >iKt5?1@
l4s oCG~
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] yd;K{ O5
zE`1qo=
诱导公式 v.i(Ue
K}Af7
6
sin(-α) = -sinα /|ZU)Xk8
I!RD-=E+%
cos(-α) = cosα QPOv8?^=|
q`&}q\?P
sin(π/2-α) = cosα :Ml vdt_
{x^,z+O
Y+
cos(π/2-α) = sinα +sH4BNVOJ
VD"p.
sin(π/2+α) = cosα `k FC;o>
L (Y,W@C
cos(π/2+α) = -sinα {)\o"#/=4?
.>iG8Kw/
sin(π-α) = sinα VO
4]'?
hS(?]
cos(π-α) = -cosα mJ[OpS}&&
. oF(6H(
sin(π+α) = -sinα KS_ok 9P
8Ki/uRz'
cos(π+α) = -cosα 9hHs'ip
zW9iG?
L4
tanA= sinA/cosA Xg0UWM#7?
O.oN`S
tan(π/2+α)=-cotα i?T3*67US
4XAQwgm`
tan(π/2-α)=cotα U?82t$R!
om&['h
tan(π-α)=-tanα /ibYY84C
x&4(%Qq
tan(π+α)=tanα Du"|Vsl3
3N|1[wqk.
万能公式 u_K{Z3i I
@
`
&&)-
eQFB6j =v
"br[W}@
其它公式 1P8`G#vAq
RQ`hl)<*
(sinα)^2+(cosα)^2=1 aF]?L'F_
~7Dm
{P)
1+(tanα)^2=(secα)^2 66,.?">I9
Ve
L;<(O
1+(cotα)^2=(cscα)^2 k{9:1`Ode
=kL-TUfhx
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 oCLa
\wt
q:5ogRlu:
对于任意非直角三角形,总有 76w)#v#
vR5KOt
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qpZ"{o
'2,@@#Ba
证: 'UB1\,v.c
d<wZsCY9G
A+B=π-C CTA0<{L7.
}'S>Q%.}
tan(A+B)=tan(π-C) ix~7?y,8
fo\lS&=v
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) b'Nj
+
=}!C4I)!
整理可得 Q*lx%\
~7\6B2K$
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KLiwC@o&"O
iu3ANVR g
得证 qq"h
x3
ItMjfc
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $e9
Q j
J8S
'>
其他非重点三角函数 31U\y
K1 ]r[e:_
csc(a) = 1/sin(a) |Epf{-'6!
~
`bC
sec(a) = 1/cos(a) R=E|_<9
zt/`]PE
pl)y
-'mka;Hza
双曲函数 BNO-Oo}[
\ebxD"
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 pi3JC I
[b~4!
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #qr,{)sn/
U",
V.Ml
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) w$fw"<
rKB+M>
公式一: "0+dl
xiI`8=G=B
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ~#vnvzX
'0F\l7WXf
sin(2kπ+α)= sinα <{t-E?IWx
;GI,1),+
cos(2kπ+α)= cosα jp3zi%`z
ubl0G2,hdx
tan(kπ+α)= tanα {1>G~^#2
*LU[-]
cot(kπ+α)= cotα \j>(FDO0!r
/L`iQR
公式二: /*nTX
KGSMG`
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: _=YWjqg?
:fE(j{r7,
sin(π+α)= -sinα _E^ae#0
1EOPpheA
cos(π+α)= -cosα 7B%lW3 t
D+\h"/,z
tan(π+α)= tanα (5ppiT i_1
FTc-L%1$ w
cot(π+α)= cotα WVS
V-J|>
QD>2?4q
公式三: J|vZ7@nsP
&cq'(](]p
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: pQ9~gbh8E
F[;}OA!
sin(-α)= -sinα nf"d{
b$5tzd
cos(-α)= cosα }:72
Uv
{a$W$%
tan(-α)= -tanα hX:|oamtg
@vCVJg
cot(-α)= -cotα #'GZ
3}p
/@4K)C<:
公式四: `!AGwF#k
`kBq;0
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ]{we emT
KCSkIF8
sin(π-α)= sinα R*.'%_"L
o#$)K
cos(π-α)= -cosα 69bcu808H
p_v4!OT
tan(π-α)= -tanα _mP=C2g+
InmQ},OUDa
cot(π-α)= -cotα
XI4nem
$a+s`~B
公式五: bp;fo"`:
X?W7]
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: %O&LOA;
qr;i\K]o.
sin(2π-α)= -sinα 1a RGA}$
+X.lcSI;
cos(2π-α)= cosα &r9n#^Bw
lHLw{G
tan(2π-α)= -tanα 51H}$sP
AztJns3ct
cot(2π-α)= -cotα [su.{d{
&N3juv9
公式六: w^30VLQpk
BS@fg
q\n
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Af]CL^S_ v
6$^4 C<#
sin(π/2+α)= cosα b0Q
MlN^
Dr>$pS
cos(π/2+α)= -sinα |Uji`W%r
Ag291&
tan(π/2+α)= -cotα I?S{di_(}8
0n
$9r{T
cot(π/2+α)= -tanα ]W6`~u[NG
F>P2m&gcC
sin(π/2-α)= cosα r$4 r^F
t.~R^jGZ
cos(π/2-α)= sinα .l_
mADR
W8ZGu"fE
tan(π/2-α)= cotα ~
mN0D
d>o
?bJY(UG|
cot(π/2-α)= tanα {(c3tb\
NnPnRA'N9
sin(3π/2+α)= -cosα 5nkC
?
&_J By3
cos(3π/2+α)= sinα ,%1<{+lx-
\\hQr.iXF=
tan(3π/2+α)= -cotα jrC$YR|j
3
SB7G+
cot(3π/2+α)= -tanα k)X$?%f
~az^g!
sin(3π/2-α)= -cosα S;=>M W:
vB{o3Xi4
cos(3π/2-α)= -sinα vb$x9
[
8ooiu(v
tan(3π/2-α)= cotα l*<Pkj}q
Xu|(h_\I
cot(3π/2-α)= tanα s=ti4LQ
_Pj=j~
(以上k∈Z) sDrOV1
Bpt{fj3
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @~,S
mk
#L+) $}6r
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .K)gy
y(?=8j!9w
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9PObEmu
xI<7y6
√表示根号,包括{……}中的内容

迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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