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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 f Lb0/U2  
nNx6P@{|  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ;H)h }>X\  
;9[ )m7*  
  1、三角函数本质: T!C\$_,  
.b#fb|H  
  三角函数的本质来源于定义 Q{`A6)6`  
Z rCK|yj  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 t-]Rlo}B;!  
Z77)h3wyq  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 VIJ{#J#K  
d`mOKlj_K8  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: oauIQcX%Om  
ZBD{..h  
  推导: \iWR,JE  
w&rD6)D  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 Mp#bBu  
a*\ Yu  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 0czG1('s  
Zo 2EP  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) @ h 1 ;2  
~1{lq?nE/  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 +PvQF=lM  
]#dd##x  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) M:BN954+&  
F `+mW  
  [1] X4#OsfoZd  
uL2dP}480  
  两角和公式 b0d_J  
" ?-O)*+  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB `*&^s!ei  
nizY Pus  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  8o0q&_XB  
n;y +i$  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _d}$v"se  
8RTm4I} v  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Y@8'oL#YN  
[+UiXxT>  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~<Xy/mJ  
`kZ/u$ 0  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) hP !$]  
D:={I;3l  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  eigg1p  
G"F{hGE|vL  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 4_oK41+  
3p<p!-Dn  
倍角公式 j^Hmhwyl1  
<M4S0wa h  
  Sin2A=2SinA•CosA <k|JeYn l  
[Px=Hy*9j  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ylt(7Uh  
1]<V]Y*  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) do3#lW0L#  
iL[nhO^  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Njo-]yg  
!WL`6bMx  
三倍角公式 o?I P,$.B  
jI&C>?j  
   *Zd/$Z !  
x(k(^ [  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) t{|[x4$  
(~{-JKe|  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tk~nq`  
lnpq=]|QAD  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) vk{GolW  
@"yvr0P  
三倍角公式推导 !g 'Mzu  
O>_'/mLxG  
  sin3a dtpg2DN0Z  
x_(GW  
  =sin(2a+a) TN]'z)SIg  
d[sRvk:  
  =sin2acosa+cos2asina PlJJc K  
O`y(Oh3ah2  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S@3A0=M>S  
#QTQvyw $F  
  =3sina-4sin³a t!0W,(63  
( .tR6Z  
  cos3a = \`qe GL  
'G$-J`k  
  =cos(2a+a) 1,'}zp2u  
%Qrzv8  
  =cos2acosa-sin2asina (ZR=A1U  
3/ 1!f  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa t@FXj,4t  
;BYj ]6  
  =4cos³a-3cosa }j@%yYCE  
=eU:_j?i  
  sin3a=3sina-4sin³a cb,; v*D7Y  
_/{?pG   
  =4sina(3/4-sin²a) !7yInQi*  
}E`2&s_3l  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] Y@G)Iw ` c  
WQ#7M>Y !  
  =4sina(sin²60°-sin²a) >1@mjKK5  
>>&<Ri]#  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) iL *<'  
9>7Kj~cRd  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] :B6bc?c P(  
L Z,'OrI  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Pdre d}gX  
Q$Au,Dj  
  cos3a=4cos³a-3cosa maY9k=<C!  
Y[{o*W  
  =4cosa(cos²a-3/4) ne}d@NKu5  
FliQDI  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] c&6$kn  
I}u{{a^:E  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) WQCuVC  
Z~B*EDhFE  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) }Y2X474y  
Z+eHGO%Pp  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} acYe $ls  
i$.Tix"dj  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Rwuy^{w:  
1(rB]U:~(  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] Ga&g4&lg^  
f r|1^)'  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] `:2v>N  
oRuYEJ  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) )ic)3V(  
Ly$Qa=^ }@  
  上述两式相比可得 >+3 #6p  
%D qe.` N  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 4#p^&F_FF  
7\z4 ]  
半角公式 K(JES:u  
)wW:&b  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 'sBjGN..  
-QZ@A"X  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. `@6qr6   
]I< ph>)  
和差化积 8 '@-FE|nt  
*17lxa?  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] T41 y  
w5O/Ry+:  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <zh5O%6EG  
, ,?RS~D  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ++>og2Q)  
}d!.C'0.  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o 1;_   
/i|Jl 1  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1 S3;t *  
a?V{YOz T  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) H1#Wfx;  
bBkGW<\<  
积化和差 "tL"8bS  
df<;4< $  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] g<Z"Dpu  
9/!hEv  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] t?<3OqdI   
_b"k]nh  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] >iKt5?1@  
l4soCG~  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] yd;K{ O5  
zE`1qo=  
诱导公式 v.i(Ue  
K}Af7 6  
  sin(-α) = -sinα /|ZU)Xk8  
I!RD-=E+%  
  cos(-α) = cosα QPOv8?^=|  
q`&}q\?P  
  sin(π/2-α) = cosα :Mlvdt_  
{x^,z+O Y+  
  cos(π/2-α) = sinα +sH4BNVOJ  
VD"p.  
  sin(π/2+α) = cosα `kFC;o>  
L(Y,W@C  
  cos(π/2+α) = -sinα {)\o"#/=4?  
.>iG8Kw/  
  sin(π-α) = sinα VO 4] '?  
hS(?]  
  cos(π-α) = -cosα mJ[OpS}&&  
. oF(6H(  
  sin(π+α) = -sinα KS_ok9P  
8Ki/ uRz'  
  cos(π+α) = -cosα 9hHs'ip  
zW9iG? L4  
  tanA= sinA/cosA Xg0UWM#7?  
O.oN`S  
  tan(π/2+α)=-cotα i?T3*67US  
4XAQwgm`  
  tan(π/2-α)=cotα U?82t$R!  
om&['h  
  tan(π-α)=-tanα /ibY Y84C  
x&4(%Qq  
  tan(π+α)=tanα Du"|Vsl3  
3N|1[wqk.  
万能公式 u_K{Z3i I  
@ ` &&)-  
   eQFB6j =v  
"br[W}@  
其它公式 1P8`G#vAq  
RQ`hl)<*  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 aF]?L'F_  
~7Dm {P)  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 66,.?">I9  
Ve L;<(O  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 k{9:1`Ode  
=kL-TUfhx  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 oCLa \w t  
q:5ogRlu:  
  对于任意非直角三角形,总有 76w)#v#  
vR5KOt  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qpZ"{o  
'2,@@#Ba  
  证: 'UB1\,v.c  
d<wZsCY9G  
  A+B=π-C CTA0<{L7.  
}'S>Q%.}  
  tan(A+B)=tan(π-C) ix~7?y,8  
fo\lS&=v  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) b'Nj +  
=} !C4I)!  
  整理可得 Q*lx%\  
~7\6B2K$  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC KLiwC@o&"O  
iu3ANVRg  
  得证 qq"h x 3  
ItMjfc   
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $e9 Q j  
J8S '>  
其他非重点三角函数 31U\y  
K1 ]r[e:_  
  csc(a) = 1/sin(a) |Epf{ -'6!  
~  `bC  
  sec(a) = 1/cos(a) R=E|_<9  
zt/`]PE  
   pl  )y  
-'mka;Hza  
双曲函数 BNO-Oo }[  
\ebxD"  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 pi3JC I  
[b~4!  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 #qr,{)sn/  
U", V.Ml   
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) w$fw"<  
rKB+M>  
  公式一: "0+dl   
xiI`8=G=B  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ~#vnvzX  
'0F\l7WXf  
  sin(2kπ+α)= sinα <{t-E?IWx  
;GI,1),+  
  cos(2kπ+α)= cosα jp3zi%`z  
ubl0G2,hdx  
  tan(kπ+α)= tanα {1 >G~^#2  
*LU[-]  
  cot(kπ+α)= cotα \j>(FDO0!r  
/L`iQR  
  公式二: /*nTX  
KGSMG`  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: _=YWjqg?  
:fE(j{r7,  
  sin(π+α)= -sinα _E^ae#0  
1EOPpheA  
  cos(π+α)= -cosα 7B%lW3t  
D+\h"/,z  
  tan(π+α)= tanα (5ppiT i_1  
FTc-L%1$w  
  cot(π+α)= cotα WVS V-J|>  
QD>2?4q  
  公式三: J|vZ7@ nsP  
&cq'(](]p  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: pQ9~gbh8E  
F[;}OA!  
  sin(-α)= -sinα nf"d{  
b$5tzd  
  cos(-α)= cosα }: 72 Uv  
{a$W $%  
  tan(-α)= -tanα hX:|oamtg  
@vCVJg  
  cot(-α)= -cotα #'GZ 3}p  
/@4K)C<:  
  公式四: `!AGwF#k  
`kBq;0  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: ]{we emT  
KCSkIF8  
  sin(π-α)= sinα R*.'%_"L  
o#$)K  
  cos(π-α)= -cosα 69bcu808H  
p_v4!OT  
  tan(π-α)= -tanα _m P=C2g+  
InmQ},OUDa  
  cot(π-α)= -cotα XI4nem  
$a+s`~B  
  公式五: bp;fo"`:  
X ?W7]   
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: %O&L OA;  
qr;i\K]o.  
  sin(2π-α)= -sinα 1aRGA}$  
+X.lcSI;  
  cos(2π-α)= cosα &r9n#^Bw  
lHLw{G  
  tan(2π-α)= -tanα 51H}$sP  
AztJns3 ct  
  cot(2π-α)= -cotα [su.{d{  
&N3juv9  
  公式六: w^30VLQpk  
BS@fg q\n  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: Af]CL^S_ v  
6$^4 C<#  
  sin(π/2+α)= cosα b0Q MlN^  
Dr>$pS  
  cos(π/2+α)= -sinα |Uji`W%r  
 Ag291&  
  tan(π/2+α)= -cotα I?S{di_(}8  
0n $9r{T  
  cot(π/2+α)= -tanα ]W6`~u[NG  
F>P2m&gcC  
  sin(π/2-α)= cosα r$4r^F  
t.~R^jGZ  
  cos(π/2-α)= sinα .l_ mADR  
W8ZGu"fE  
  tan(π/2-α)= cotα ~ mN0D d>o  
?bJY(UG|  
  cot(π/2-α)= tanα {(c3tb\  
NnPn RA'N9  
  sin(3π/2+α)= -cosα 5 nkC ?  
&_J By3  
  cos(3π/2+α)= sinα ,%1<{+lx-  
\\hQr.iXF=  
  tan(3π/2+α)= -cotα jr C$YR|j  
3 SB 7G+  
  cot(3π/2+α)= -tanα k)X$?%f  
~ az^g!  
  sin(3π/2-α)= -cosα S; =>MW:  
vB{o3Xi4  
  cos(3π/2-α)= -sinα vb$x9 [  
8ooiu(v  
  tan(3π/2-α)= cotα l*<Pkj}q  
Xu|(h_\I  
  cot(3π/2-α)= tanα s=ti4LQ  
_Pj=j~   
  (以上k∈Z) sDrOV1  
Bpt{f j3  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 @~,S m k  
#L+) $}6r  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = .K)gy  
y(?=8j!9w  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 9PObEmu  
xI<7y6  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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