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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 i" mp}E  
aGSBKs0  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Z#65"`  
vP ZHLlaq  
　　1、三角函数本质： g[qS;+Xf  
J! kB(A79  
　　三角函数的本质来源于定义 auz-vUJ,d  
fhen%K6t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 l\Ml=?$%o  
kr&Fp O0b  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -Y]|: kc  
myA@(r  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J,T]wDD  
PZH {Rk\  
　　推导： FFx1C ,v  
j W4@7F  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 `s#u$QKmp  
xjL[,N=  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) prU!1j9&  
J{W AA5c  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) R <Z$xD"F  
T1[ D@2 /  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 i0G|Mu  
_-h5Ga  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ol E cWh  
OG.-XO5~'  
　　[1] +A|}~K  
CW&,h-u{r  
　　两角和公式 S?GBR*zo  
z3w) ="  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ~"(?MM2  
e 'I iElq  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  0]ekalM   
k /y\^k]  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB .A-zTt07  
zU>,*h[+$  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB }QX?.mp  
s>u.Lk:R  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) (mH'!PgdQn  
[y.c %D*l  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) hI}CsK  
Xl[RY1H{  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Z!yP=h%!  
2}Cf=S8"  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) L" [vv_k  
c_!BMr4d  
倍角公式 &#-:"=d:  
|/@?mSP!e  
　　Sin2A=2SinA•CosA KNe(CrwW  
rQ6 $u>za  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 irxkknH_  
]?zgO$"tM  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） rT+bu~\;'1  
f CMB[dT  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） o*R7T F  
<'b_og\  
三倍角公式 Y,A)J|cU  
8DMnv?G  
　　 ^]!=+PX  
D$7Va\nC  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 0 .F=hv+S  
GS, wIH:  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) $o,1Mv@T  
[P|o  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ;%< ^ytu\h  
, Vk^WN  
三倍角公式推导 OwJy`K,l[  
+Dw<>  
　　sin3a Kjetv6(j  
T^J7=Wti  
　　=sin(2a+a) ` 4."Jg6S  
f2CAVi\V  
　　=sin2acosa+cos2asina [m -T+LM  
=8 #sQ&(x  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina pw~^$ <G  
e[ a;,\ ,  
　　=3sina-4sin³a 2OCuHLTR  
Rmk3h9<'  
　　cos3a EMTZAZ ^  
42ZfNXoI  
　　=cos(2a+a) ~!LK5U,|-S  
S=Z$!6  
　　=cos2acosa-sin2asina 3p=)?#O1&  
$$X$tVG  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa $Yx %el3  
lt%}F  
　　=4cos³a-3cosa U"$/p w)>  
h:r4bPpM  
　　sin3a=3sina-4sin³a }-p R ^=IL  
#M_%[y50  
　　=4sina(3/4-sin²a) >}d:Bvoa  
w)J~hAs=V  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] P N  
p9Y^ZSEy  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |ZiR|#l  
+0k zv\sN~  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ZP&W wk=  
*tnu5W\@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ;7U]^K  
iFs_wz  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) Qb 1VE  
Wbv)Yy%K  
　　cos3a=4cos³a-3cosa eN*~KjD$  
*M-BE&3q  
　　=4cosa(cos²a-3/4) >E[9@Z   
/xU5I*'I  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ydrCuA5v  
`< )L }y  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) H.yH;hQ  
q@o<VP  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ? aw|WIG  
a_ 6$O4'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} a{ss6Zm]O  
3\;cJdKX  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) yOV'w6@  
@`/=8l"]   
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ]O-37F]h}  
ZR~3nEx@  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] L MEnE  
TPi 4J  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) PCVUQ_S8  
;pzHG]cx  
　　上述两式相比可得 O E<R*{Xu  
=Rb]uL  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Z_q Q4  
ZCLJ 'I  
半角公式 )_kFwc>8@  
@& HR6'  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); "p)lMZ^l  
,i5W9Xo  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~9|-><.5_  
9{b7rJ>!  
和差化积 y"$5#')5>]  
a9":RI9V  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zbW6WO{j  
PR_:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ux#&luE#  
%6g) /"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u(<ErK% "F  
L '\?f{  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] YA DK/I  
-R@sS^5>6  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) y'C|'d{a#  
mD{0az'  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0-moc0vpJ  
1{/&K$0  
积化和差 -z:*i.#  
!3<K&C )  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] rFr_tE g  
M4#I%D+n  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ORs~*Xq/F  
xc&u<xzG  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Fl .ut{  
 #piQ*5X,  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] lC@|-aWh8  
<3H4Bz\t<  
诱导公式 WAcVlx ;(  
O+K""8:u  
　　sin(-α) = -sinα QX6XpR3  
-V,ov~  
　　cos(-α) = cosα m8t*H#)  
U\%gg;4u  
　　sin(π/2-α) = cosα 'V[C`  
:o- |&FW.  
　　cos(π/2-α) = sinα qoS_$Fa9dY  
5mqN#va`.  
　　sin(π/2+α) = cosα .ju~nBu  
"u^ePrXp  
　　cos(π/2+α) = -sinα @z.4P>  
\+6pt"nx4  
　　sin(π-α) = sinα '*N2(d t.  
{VNm&( j  
　　cos(π-α) = -cosα Q]\TIJr  
&i+ =vt  
　　sin(π+α) = -sinα 'oi.Mg  
YnsH 0e6  
　　cos(π+α) = -cosα {@ 'dfWzd  
_f,WC5D}  
　　tanA= sinA/cosA ;wH:y}/'{[  
HZZ\Y5[D  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα mBRRu.#='  
I"%DN5|  
　　tan（π/2－α）＝cotα A@C G_  
z2p&.^$T-T  
　　tan（π－α）＝－tanα i[p*0TG  
[tS@5$[  
　　tan（π＋α）＝tanα ]ZTbp,1  
aA2;|Kt"V  
万能公式 T1N*9K2 Qn  
!:W.I.gY  
　　 3lq OcKq  
uVm$h'b  
其它公式 #@Yd-bAC  
s{W,Ct \  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 e5 ;iQ[Y  
hP A1v6.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Lri)<  
R{DQ Ij%  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 n/<r7ovw  
g d; v?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ; 33F5  
GjD=xjbDX]  
　　对于任意非直角三角形,总有 s&{C3~X  
S$R|];vf  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #{GE Yi  
qE @[<  
　　证: 3I}7ue  
$ei6=T  
　　A+B=π-C Gr1'N'5'  
~g$9cD[5 u  
　　tan(A+B)=tan(π-C) .,=K#$3TK_  
?M[N5NY  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) h{s&QfHR  
w4b~D_elt  
　　整理可得 ?{(3!<OM  
nzZNE\  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC w^-B~Vv"v  
*X=O~VV  
　　得证 sNC+JV 4  
?V.jVAM[  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 *2:G-|LS  
!YYnrf  
其他非重点三角函数 ph}9.C}Q  
z(rZJ423  
　　csc(a) = 1/sin(a) oc7CdSy  
{rV`r^r|  
　　sec(a) = 1/cos(a) +$h:O0  
J)Temz  
　　 &Y.;wQTL  
(-'b9  
双曲函数 TJ BXb2i.  
TY[|JYuS{  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 K+f"wJaT  
&kR-_o5  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 VQTjo#E\T  
c00@t%E\'  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) %9-4pL[r  
x$,> -  
　　公式一： ,5sWs34/  
uT`;53%P-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 4.dyZ-$nO  
[9-+ "U  
　　sin（2kπ＋α）= sinα [$K=^V`"Qr  
R],4xv2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα h; YG|  
4# 2I%Oz{i  
　　tan（kπ＋α）= tanα 5^%}!-JM  
)%V]HF  
　　cot（kπ＋α）= cotα k vp!?cK8  
QNM!}0k  
　　公式二： Ri9edFVv  
Cu^m Ba#  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： U]GBz%\?  
F~S:WYk  
　　sin（π＋α）= -sinα I "@|QMX  
N)}+VDn6,  
　　cos（π＋α）= -cosα b0_^<> EZ  
wt #zl+d  
　　tan（π＋α）= tanα S Bl] =p  
XL }lpTS  
　　cot（π＋α）= cotα Ee+@EVv]wK  
5p_EHq&  
　　公式三： j2U/PxJoF  
wx#yj Lp  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： tf'Q"eX  
r |gqq>  
　　sin（-α）= -sinα )TPDr<vS  
IpE*[U*c  
　　cos（-α）= cosα Ty/YES3<f  
9 $gJ{I  
　　tan（-α）= -tanα p*J+\RQlXo  
&EPp#.bS~  
　　cot（-α）= -cotα e;VQ -Usk  
U5t ,.&[7R  
　　公式四： &j'R?'[]Ux  
n2{?~E"+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： y [z.,  
$~^`d6]  
　　sin（π-α）= sinα t,W{5&'oET  
*?;!pAjY7  
　　cos（π-α）= -cosα ?=]BI g  
PoIDgYHs  
　　tan（π-α）= -tanα `=JPWa,;  
JdL? \pv  
　　cot（π-α）= -cotα  eci  
"j+dYcf:p  
　　公式五： <J*<vTe1r<  
_s,xRFw0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 7Oc X-s*kV  
R&b[Ast\|  
　　sin（2π-α）= -sinα 5*2> <<  
eId6IqaR  
　　cos（2π-α）= cosα uIE2fV,@  
f!\LG l~  
　　tan（2π-α）= -tanα 6Mj}#zT89  
|<%:bUN  
　　cot（2π-α）= -cotα .kmzgar)  
^N< Cb'W  
　　公式六： ?]$`(s9tS  
%3zz `>J  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： + i!W&?]  
amM0+vy  
　　sin（π/2+α）= cosα Ap<\/cg*$  
w/%P  
　　cos（π/2+α）= -sinα iu9b5gcTF  
<8qt  
　　tan（π/2+α）= -cotα E eepR  
}+A,ek(^V  
　　cot（π/2+α）= -tanα Is4o?*D  
[r)8  
　　sin（π/2-α）= cosα mT,eH ~fD  
6A&c5)  
　　cos（π/2-α）= sinα ,PDN:  
g@3f_':s  
　　tan（π/2-α）= cotα \@q_oyLy@  
oU.qN7U2]  
　　cot（π/2-α）= tanα &R+ P3/E;L  
I V|3PqR)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα so\0` E6{  
5q3+C@$#  
　　cos（3π/2+α）= sinα Q_Jr*|C|,0  
qi+iO\O.  
　　tan（3π/2+α）= -cotα wJij3  
,aCj +>Xp|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |F Cv#uu  
MkA7fd+T  
　　sin（3π/2-α）= -cosα X*!MriNro  
M 6@AGD  
　　cos（3π/2-α）= -sinα HG\9@mo'  
][IyyuB{=A  
　　tan（3π/2-α）= cotα i}&Cd}6  
N]WRQplRX  
　　cot（3π/2-α）= tanα j_5 "``  
XSubNDA  
　　(以上k∈Z) eg:b'0,  
>]>H4N`1|  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 lX\f&rf  
TBjP@[xcr  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = +]SQv, -  
7 ?EmH`  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } |UEKx?A  
B^gASy  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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