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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 (m<:]h~o  
l+PH 4  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wbu`t8K-  
dzT'U|'|  
　　1、三角函数本质： cd:o<] Nf  
,_G&OMC`  
　　三角函数的本质来源于定义 D!Z=xiY0  
;!Mdgg  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 sUK ^O  
S9g1#m  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 !N5~o 5  
_w/4}-_  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： [;t~N;63>  
1$4m4Sby  
　　推导： 9}FmNw6S%  
: hed G~*  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 *p[NCrDe2  
7 xL6OMe  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8.(@H7?i  
}8ojUe#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pu(JQ! 2  
rZ&gR}(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f#`4aru  
g{f:q h83  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） B"|y9 TU  
:`TF{qz T  
　　[1] DuDkW/0z  
^~JnYib7#  
　　两角和公式 twtrviM7AS  
\o~l%9W.q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $n[0)b  
{vQx=  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  2^(Z%a@^-F  
XR j(3adu  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB drQyMSl  
|Z`*So ">(  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %\r<Zeo  
OAb#W_vX,  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1\o$^q,F r  
rZj00bP  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) !2d'`y{j~  
NmENFkE0  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  IG;LI]~  
@AW{ kC!  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dY{tPg^N  
Vge!H   
倍角公式 K a=IW!"  
^T` >u  
　　Sin2A=2SinA•CosA 8PS3]<k:#  
gW>u\$aT  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8|P?t 8R70  
*s!2hZNDcX  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） yl%!1  
r+xx?AIP<  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） =tmyuQ{/  
d oC{&r  
三倍角公式 #%Ma $ABp  
b+BT8Z"*t  
　　 Em:O.z~k  
^`gNz;``  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .)%$'*~S  
 f#Rf  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) = $b nBoe  
d.bTTLk  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) alXq! g  
t#' <Xc  
三倍角公式推导  t;8!a  
x5 {X:&vI  
　　sin3a D)@lsPk  
9}f5A  
　　=sin(2a+a) v4!&O ~p  
zGO?/Ml]q  
　　=sin2acosa+cos2asina HAE9y -  
V~}a@vIo  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "\oHQjRY  
}@B hQfpq  
　　=3sina-4sin³a WrRj%!_yo'  
v$=SQRk%  
　　cos3a mRa% tGO  
\-O] L7!  
　　=cos(2a+a) q8ovjd  
(V=ATF}H}q  
　　=cos2acosa-sin2asina F7YwOEd,  
Y<)Gzc  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M^LI}fNA  
{$%}< 0  
　　=4cos³a-3cosa /0$NXm  
RzA`s7@Fb  
　　sin3a=3sina-4sin³a Rd.Nrj~&  
xoNj2dE,  
　　=4sina(3/4-sin²a) wZo'c.G  
&"Z:?)Q  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] |p6)a iyB  
Uvjs:=  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) FZfQi&2  
Qp f\N s=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) DF, @w99  
8KN2O}A  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] C|k{>J\  
K^dR$YF  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) t,;b( o  
v7 D,! r  
　　cos3a=4cos³a-3cosa p &*AqI  
ZlS-0z\  
　　=4cosa(cos²a-3/4) m61)@>  
`._;eKa{  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ln]@ ~T  
Srr7MvB-)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) f(G\@0G\#  
(g0hebN'z  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \H4& c  
n=m b@V  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} cJ 1K[3x^]  
?P:kkn!j  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2|Tf{b3/  
~bE|y^C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^f e[-`2  
"#a{_{yp  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1]\GM"wDI0  
3!6c/s  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) KG c|\`9  
.{DxI1xH  
　　上述两式相比可得 "A^ 'Aw  
/F %fogn9y  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) uu^I U>R]  
c\X\jAx!]7  
半角公式 U/8];m4i  
Ov.~O%0  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); up^.Xpmao  
w<O,Q* 4  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 72\J;g+  
lB\p&5b:  
和差化积 n W#g[>  
S\3UR  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] r'{+964h%  
C"H"<uE&  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] A-Fhv^k3  
cw`V$&  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]  ?6AG*  
jHH}mKbX~^  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X@mzD bc  
HZc`K5*Q?O  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !8i[vJ:'0Q  
j|JBUd2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) USgU  
6At2NI  
积化和差 (||dKvGF  
$=r^=X"=  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .gw%B 7  
$W2k  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =`3x Gh  
*ML9C@~  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]  `gCjHX  
AXL;  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] n )PF >u  
~*8=w6D  
诱导公式 Vt EBG8/l  
s3 n.US  
　　sin(-α) = -sinα #yL*r1S{  
6v`uV7qo~  
　　cos(-α) = cosα wA~,Qe;V/c  
; 1KS6  
　　sin(π/2-α) = cosα w]KULgT__f  
G+Q4GvY  
　　cos(π/2-α) = sinα .xH@. ) dr  
*(>Kt= ;?  
　　sin(π/2+α) = cosα pe ioWvj~*  
r$S5qK ##  
　　cos(π/2+α) = -sinα YX*Tl^O  
Q,fVi$-?  
　　sin(π-α) = sinα RS: (   
C| 03mga2  
　　cos(π-α) = -cosα I]\=_7  
CT5L $Q  
　　sin(π+α) = -sinα ;n6Ic>DU{  
w] EH  
　　cos(π+α) = -cosα 34 u>[<a  
g;>?%FH0X)  
　　tanA= sinA/cosA ]s8OCc  
0xg~nnK(  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα RzR1bG[  
^:{GN@  
　　tan（π/2－α）＝cotα b:](8Y;F  
\_{od-M  
　　tan（π－α）＝－tanα 6HmB8\Oa0  
@&6oy/ |P  
　　tan（π＋α）＝tanα b3I'89(  
6|<{vh>A  
万能公式 bZD6H'R  
a^n{'7iM  
　　 hq$3})_!!I  
XMi9O r+7K  
其它公式 ($*[\U$&  
T.PJ#v@NI  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 UX0^x]:  
K XDvap  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 R]Hep[6\  
b6{_OG< )&  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ojrfIRXI  
+Q/s] U6  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 +t!>KW  
(i(xF;}g  
　　对于任意非直角三角形,总有 N~V;l  
RtvB.05  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8f?;$wf  
7 ^e 'F|(  
　　证: ?"!vx|HP  
(b! ++$  
　　A+B=π-C =J (Rz|  
da[AAz1  
　　tan(A+B)=tan(π-C) m Z2^6Vj8S  
L!8(p>  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Dk*Cfab: .  
TgU\@~  
　　整理可得 %{"Muc>#2  
H;` A@{8  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i-O[=c*|  
#pV*( 4v  
　　得证 mi2Ge]_t  
n LIrnlf  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Q%x}@  
B.- i7f  
其他非重点三角函数 F BNf%P0Nt  
q@,T#]s  
　　csc(a) = 1/sin(a) UqLS`@?m  
zLUO\7z  
　　sec(a) = 1/cos(a) 6N S? #=&  
FLL({Er$  
　　 4'^V&\Z W  
]Sn0oTl  
双曲函数 6J<7]Avff  
&>nHf  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ujmELi{  
ce0F)2F  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 FG<93hzW  
!+zV+\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 7\z(xf  
NZg_{#%0  
　　公式一： epq#Xv%R%R  
fsxb~NpD`  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： dgB|+5c  
/nVD@a  
　　sin（2kπ＋α）= sinα ;a=?jN+<  
 7N.0qw  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ++IjcFiMR|  
!PMKqjx  
　　tan（kπ＋α）= tanα YzRQT|0  
s0eDVJZ=  
　　cot（kπ＋α）= cotα Tr$PQ  
%Kk86EQC  
　　公式二： LJ |t{^gm  
$3*s)c&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： mtX?3v B  
\-aDS1S  
　　sin（π＋α）= -sinα M{"ong?Q  
0~m yj/  
　　cos（π＋α）= -cosα W-*LE-z  
8{+XuS.2  
　　tan（π＋α）= tanα s8YBvA  
%.<2 8jJq  
　　cot（π＋α）= cotα xXv^6cBM  
u$GC`h ,  
　　公式三： ?er>G a*  
aC=a+YW \  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： Gk9=]<  
uD;%x}F_r  
　　sin（-α）= -sinα xXSd8^  
Z50= .o/O  
　　cos（-α）= cosα E=m{|t3*"g  
d i=x"/7c  
　　tan（-α）= -tanα sp6GZ  
XILvK/  
　　cot（-α）= -cotα t9Mp$  
?kHitow{(N  
　　公式四： HNPZ{rLc  
*1k6<8 .  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： #k r<<T`O  
49A{)IgmD  
　　sin（π-α）= sinα ]bNOkUJ u6  
dK>~wW<  
　　cos（π-α）= -cosα {yODJ]&OV  
2O3:[c   
　　tan（π-α）= -tanα 2gi$v-4  
?f`i|Z=.Lb  
　　cot（π-α）= -cotα )n+)n Y  
7 =qw~<J.)  
　　公式五： H{m3YR]yZ0  
443 ?8e>J  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： BP.]: W  
rzt} m  
　　sin（2π-α）= -sinα zu t  
7Mi~6S|  
　　cos（2π-α）= cosα P-Wa%xm Z'  
uip<pLS  
　　tan（2π-α）= -tanα ^^Y{ Q  
+;sbNk*9}l  
　　cot（2π-α）= -cotα 'muS Sp`  
mxcOc/!r?  
　　公式六： AQ"9DpLqV  
Q>T gHtwt  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： QDETL2Xr  
OC`\V  
　　sin（π/2+α）= cosα Z}[)'G$D(  
9yU 7%la  
　　cos（π/2+α）= -sinα gX.X hTV*  
fR!.DA*  
　　tan（π/2+α）= -cotα 9|$r7aRt_  
>?%8 UW  
　　cot（π/2+α）= -tanα 8$zLw*NbB_  
vap({-dW  
　　sin（π/2-α）= cosα 0z~*kW8  
:aoBT\  
　　cos（π/2-α）= sinα o9-QDf C  
lzj`VU;cP  
　　tan（π/2-α）= cotα B)n~+6uJ8  
Yp l"a)r  
　　cot（π/2-α）= tanα fH.7Rh1  
FY3,TtbB9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V7qF(2du  
+ @\nW<[  
　　cos（3π/2+α）= sinα l|Km/E  
,Za5q].j  
　　tan（3π/2+α）= -cotα $Z*KJQ)G"  
~8fEt`DM4  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ne$?   
)kYQd?^<  
　　sin（3π/2-α）= -cosα l z('EC5  
g\TY~W56{^  
　　cos（3π/2-α）= -sinα l$&,{C=t  
ivK`Im  
　　tan（3π/2-α）= cotα Os -F7>B  
3[*uu  
　　cot（3π/2-α）= tanα & qN3kz1}^  
~tW\cu>  
　　(以上k∈Z) Zo*T5  
Rutxc3:SRi  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 :[H*oos*[  
e[k I _  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = A9XfdZFw{8  
5xD<E]Es?  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 5['d`(2+  
nM([<k]  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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