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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^Fk>TH=2  
@FC,#-N\  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. q* +|L"P9  
!"w   
　　1、三角函数本质： *[p%!WH#  
}%U:9V~U(V  
　　三角函数的本质来源于定义 Ai rz  
 Ua(`1  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ;&Ro'?  
'I.r =j6W  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 S!n^9-  
/JOp&V  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： yQSbwZw  
|BFo4  
　　推导： T=1.V"S1  
J,N-`0!p4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 hBKX]z"([  
\k;Q$vZZ2  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) N?OYt!f  
!' :~>T>^#  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) C NOj  
Tmf=WGB.@  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 i:jgk  
ev}l^tUvy  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 7kbj+]K  
;kGRaY#  
　　[1] maL),')  
}Mk  [2  
　　两角和公式 /Qu7EE+%  
0=;(ZeQ?Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB d5(~lAV_  
x[ lM4&Od  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  xye |NtG2  
H#gdCuS  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB kQZ>|:|]Q{  
.<Zhg|z  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB `+// %  
y 7={t]  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) <pLfD~  
gci8,yc  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) L'>a&YiTC  
j`j{h(Q)  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  (<PwSaySk  
pKokNU x:  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) n[Co$x71V  
2=% -pfoM#  
倍角公式 b$LLt|,L  
{`bfDWz!  
　　Sin2A=2SinA•CosA o pW6o$ZQ  
D;RT%J<jN  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 um!F4 l  
4F+t#,O  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ~VHXA7'w  
8g.'!>8i  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） XU6;*7B  
V"y\`9   
三倍角公式 ~s+`6a  
Mn74)GH  
　　 R %IO4r]  
v/PC2uE(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Err *R  
fT;s;U`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Q3)`N[#j*  
1mO;tDdvN  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [l bpX)n  
;Yr+N]?sp  
三倍角公式推导 Mx#7YJpd:  
o_|XB-i  
　　sin3a 8Bh@F  
k=iHL<$^BQ  
　　=sin(2a+a) ;" ]cz Nx  
uA.aTTW  
　　=sin2acosa+cos2asina 3H(HSL+[k  
,)9r+ 2v  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B}Y Mzv  
\RFHTag!  
　　=3sina-4sin³a ||5t<^J e  
2W],bNk!  
　　cos3a @U "/Vk!(  
I} pT4NR2  
　　=cos(2a+a) 8 dK I0)  
^e'M kqu  
　　=cos2acosa-sin2asina =UX7 D  
l0qH ^O,  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Q,%nNJ  
]z|6,cR  
　　=4cos³a-3cosa J' Fr@  
MwJ6UL)6S  
　　sin3a=3sina-4sin³a p_G4\TN~P  
#_u;Cu  
　　=4sina(3/4-sin²a) ,Jl1NV/  
kUJp4PB  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] =R`>$,5w<  
';b\%[  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) y Y-kI  
nD`ARE.#  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) $P@0Z`d:  
}dlW}S1,%  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] n/n`rf~tx  
6/PpALA6!n  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) mVZxX|nL  
rRWSsb;L  
　　cos3a=4cos³a-3cosa {k 7y  
K-%G3.|b  
　　=4cosa(cos²a-3/4) QGNCy^f`z  
?,={t@V?  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] "o2G >:$  
Wb%s0u2=  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) F Ph!!jl  
a`@ 5#3_  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \CQEm"n  
#^WJ-L?T  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} "g'PkG%y  
-L.sUu  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) DyIs \1%  
OWa1N~vQx  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :RW<&+D&7  
E}vO#  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @D*qF]_W  
?]P huZ  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)  XQd/=A?  
fOu ^Ne@Mh  
　　上述两式相比可得 T?+NGqL  
*!jf+ 7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) _, O>D\  
,-8EauV8>  
半角公式 rps=E@<  
JXx^#Lr  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); E]cTxwY  
|NtswdtV:  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 0 KK^63q-  
'*p:5EGdW  
和差化积 iw 6}`j  
]GXc!`,k'  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _(Q+Pe%0=  
V;[D ^uYF  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Wn I=.  
#  *MBp  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] mssU3}%@R  
>LB*V;F4I  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 3 bCK*q  
awXhdx.j:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Qz$,O$I)W  
~G],fVlO}  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 0CX$Ug.cH  
2YMRKmA  
积化和差 ;"9jKn21X  
j^i`G9b n  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8f'4Y6RU  
gf,0L m  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ' Xj,u0b  
r Z&lp  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <Aj(K ;,  
L!C,H:T  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] aCkS$.1 =  
<_3>  
诱导公式 X~rI^42  
g^_n'# ]_  
　　sin(-α) = -sinα Yz,;h;  
_^r8-&P4K  
　　cos(-α) = cosα \g^}EMiG  
}M"'xt'n  
　　sin(π/2-α) = cosα "u;KsBs  
Nd3x`k_  
　　cos(π/2-α) = sinα l["s#1vA  
l WT^8q'C  
　　sin(π/2+α) = cosα ,9;`!Jmm  
c,^6Yew[  
　　cos(π/2+α) = -sinα {;-"B1U3  
2a3?2t'>  
　　sin(π-α) = sinα P^ (7Gn@  
\x=wJ o  
　　cos(π-α) = -cosα 6Bl(\L8J  
 msz$M  
　　sin(π+α) = -sinα hOK.*x[  
" `)K,W>  
　　cos(π+α) = -cosα N-O QX,0  
'0n&&C   
　　tanA= sinA/cosA *P;s\W  
|#-?kJ  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 80^'c +\  
i^][ ~Nq|  
　　tan（π/2－α）＝cotα )p?k82a!  
P1aTC\BP^  
　　tan（π－α）＝－tanα (SGkh|qZD  
4j'FWPjC  
　　tan（π＋α）＝tanα hsl$" $z  
C^d~k q#  
万能公式 s33OT] =f  
%G8,[Pe A  
　　 "F&h <K?  
QH7HO  
其它公式 }ar3.i$ij  
b_ay ,  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  *PTo T  
}z >=i5  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ZWk.k \n  
3p[41-Q[  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ,g?..7  
fU&^p7]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 |@0w ]A2)  
@=Jy/gt  
　　对于任意非直角三角形,总有 !P&)6^ P +  
tLO1_$_U  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC DTLy|UJeb  
a~t_Njb?W  
　　证: cg0(/{  
nxKU_|l  
　　A+B=π-C zsveF4  
dv38-'td  
　　tan(A+B)=tan(π-C) e}`8&E  
\36QVt{^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) BDjLI<N(i  
&-t"hrk"+  
　　整理可得 )MU5Vu8   
ICI/_C+p9W  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC l[XkN  
F fdF1m  
　　得证 ]\6mM?Z  
 L= FX#H  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 )1 # 7  
8C\2HH  
其他非重点三角函数 Q4KwN  
r,v|b@~|W-  
　　csc(a) = 1/sin(a) haS1S ;8  
)4 m@tYMZ<  
　　sec(a) = 1/cos(a) cUo<(  
hnf,@Vq  
　　 O35vz  
&sU4_.`  
双曲函数 NPm,d!X_j  
>etmXAE  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 a1OT7  
_` r~ ,e  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 y W90g  
B< L#;e\  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) V;YMll  
0G4o(!$cg  
　　公式一： h cR>o'z  
u`Yc `5[H  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： nUH]0p?qZ  
f{kdzgb  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Bax:j@^>  
AmY]o/n  
　　cos（2kπ＋α）= cosα lg 0gl `  
}n>;6,[wO  
　　tan（kπ＋α）= tanα YUxkgqEn  
P2wv^yQ?  
　　cot（kπ＋α）= cotα .V-{vfgov  
sd%NQ.G2i  
　　公式二： :o*6]`o  
H#(5qc')w8  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： |8WSMpM  
EW?sCN UG  
　　sin（π＋α）= -sinα NS3>k_r|0  
+'$wO&Z[  
　　cos（π＋α）= -cosα _F N9]B(;  
PH|u)`  
　　tan（π＋α）= tanα 4RIW@7 :[  
+#5[X$H )  
　　cot（π＋α）= cotα N_mi&  
0l$6E5Rv  
　　公式三： +65fEo"  
K |ms.F9-i  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ^ 5wFIc!  
^(67C-k;g  
　　sin（-α）= -sinα GKiz($hn  
_7l.&jP+  
　　cos（-α）= cosα Gc2wWCE1  
1%}Lfi{C<  
　　tan（-α）= -tanα =:ugkWxAf  
38YT+L''^  
　　cot（-α）= -cotα =hk0\Ng  
qv"qRzy  
　　公式四： a% W=.UR  
)qMIc)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： >BoP!@EG  
s I3\.jh  
　　sin（π-α）= sinα 6LnSo$@F  
Q&4  
　　cos（π-α）= -cosα tAS vhA|  
c.mK[cI;Y  
　　tan（π-α）= -tanα s552v,  
V A}37G{  
　　cot（π-α）= -cotα &*RJjR2qh)  
Y7nY ^  
　　公式五： }@*U=IC! S  
"Gx=>  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Ij7iPh_  
c)(4} E  
　　sin（2π-α）= -sinα 0W)nc3  
,1_CEHGtJt  
　　cos（2π-α）= cosα x,< Z-/D  
s1JUq(`(  
　　tan（2π-α）= -tanα -}S~zb  
Wn<T= p  
　　cot（2π-α）= -cotα 1Quv@`hPd  
AHd ~)Z2  
　　公式六： q;z=@ p  
aq$N6t  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： D+43X h  
D:=`}%.):  
　　sin（π/2+α）= cosα &Hs \)N&g  
L;1;X [  
　　cos（π/2+α）= -sinα _VthND:)  
H=))  
　　tan（π/2+α）= -cotα -xmDX.  
\}#a )v  
　　cot（π/2+α）= -tanα XN8:nOA  
B KBY  
　　sin（π/2-α）= cosα 1$itN;Uya  
|M}}An<  
　　cos（π/2-α）= sinα _50u~+`t 3  
qk HkA%h_  
　　tan（π/2-α）= cotα MPU  bI`d  
#D="T7C  
　　cot（π/2-α）= tanα +a~#VXl+]  
oXFqf`waE  
　　sin（3π/2+α）= -cosα EW~yZ^7!  
FS$KqwdYA  
　　cos（3π/2+α）= sinα I;VKMa  
3#%/uM$H  
　　tan（3π/2+α）= -cotα O)AV 3t  
x,1x" F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα VW:BpJ?0  
&t!`r s  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _Cnu6DU<  
>4>))Dz  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Tj3'U*VA  
9"=~ck?v  
　　tan（3π/2-α）= cotα 2*LHajb6  
Gd&;h  
　　cot（3π/2-α）= tanα >!qLCXFy  
v{5mau ~  
　　(以上k∈Z) J Tb00vO;|  
MQ/ t=%#+(  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 TK7SifNs  
BaS%R, _  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Xh@!j,;  
3e|  >++  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } [Q2'r7  
$lL283yAo  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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