三角函数内容规律 (m<:]h~o
l+PH 4
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wbu`t8K-
dzT'U|'|
1、三角函数本质: cd:o<]
Nf
,_G&OMC`
三角函数的本质来源于定义 D!Z=xiY0
;!Mdgg
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 sUK
^O
S9g1# m
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 !N5~o 5
_w/4}-_
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: [;t~N;63>
1$4m4Sby
推导: 9}F mNw6S%
:hed
G~*
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 *p[NCrDe2
7 xL6OMe
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8.(@H7?i
}8ojUe#
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) pu(JQ!2
rZ&gR}(
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 f#` 4aru
g{f:qh83
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) B"|y9 TU
:`TF{qz
T
[1]
DuDkW/0z
^~JnYib7#
两角和公式 twtrviM7AS
\o~l%9W.q
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
$n[0)b
{vQx=
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB 2^(Z%a@^-F
XRj(3adu
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB drQyMSl
|Z`*So">(
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %\r<Zeo
OAb#W_vX,
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 1\o$^q,Fr
rZj00bP
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) !2d'`y{j~
NmENFkE0
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) IG;LI]~
@AW{ kC!
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dY{tPg^N
Vge!H
倍角公式 K a=IW!"
^T` >u
Sin2A=2SinA•CosA 8PS3]<k:#
gW>u\$aT
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 8|P?t
8R70
*s!2hZNDcX
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) yl%!1
r+xx?AIP<
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) =tmyuQ{/
doC{&r
三倍角公式 #%Ma$ABp
b+BT8Z"*t
Em:O.z~k
^`gNz;``
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) .)%$'*~S
f#Rf
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) =$bnBoe
d.bTTLk
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) alXq! g
t#' <Xc
三倍角公式推导 t;8!a
x5{X:&vI
sin3a D)@lsPk
9}f5A
=sin(2a+a) v4!&O
~p
zGO?/Ml]q
=sin2acosa+cos2asina HAE9y-
V~}a@vIo
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina "\oHQjRY
}@B hQfpq
=3sina-4sin³a WrRj%!_yo'
v$=SQRk%
cos3a mRa%
tGO
\-O]
L7!
=cos(2a+a) q8ovjd
(V=ATF}H}q
=cos2acosa-sin2asina F7YwOEd,
Y<)Gzc
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa M^LI }fNA
{$%}<
0
=4cos³a-3cosa /0$NXm
RzA`s7@Fb
sin3a=3sina-4sin³a Rd.Nrj~&
xoNj2dE,
=4sina(3/4-sin²a) wZ o'c.G
&"Z:?)Q
=4sina[(√3/2)²-sin²a] |p6)aiyB
Uvjs:=
=4sina(sin²60°-sin²a) FZfQi&2
Qp
f\Ns=
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) DF,
@w99
8KN2O}A
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] C|k{>J\
K^dR $YF
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
t,;b(
o
v7 D,!
r
cos3a=4cos³a-3cosa p
&*AqI
ZlS-0z\
=4cosa(cos²a-3/4) m61)@>
`._;eKa{
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Ln]@ ~T
Srr7MvB-)
=4cosa(cos²a-cos²30°) f(G\@0G\#
(g0hebN'z
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) \H4&
c
n=m
b@V
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} cJ
1K[3x^]
?P:kkn!j
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2|Tf{b3/
~bE|y^C
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^fe[-`2
"#a{_{yp
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 1]\GM"wDI0
3!6c/s
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) KGc|\`9
.{DxI1xH
上述两式相比可得 "A^
'Aw
/F
%fogn9y
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) uu^I U>R]
c\X\jAx!]7
半角公式 U/8];m4i
Ov.~O%0
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); up^.Xpmao
w<O,Q* 4
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 72\J;g+
lB\p&5b:
和差化积 n
W#g[>
S\3UR
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] r'{+964h%
C "H"<uE&
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] A-Fhv^k3
cw`V$&
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?6AG*
jHH}mKbX~^
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] X@mzD
bc
HZc`K5*Q?O
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !8i[vJ:'0Q
j|JBUd2
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) USgU
6At2N I
积化和差 (||dKvGF
$=r^=X"=
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .gw%B
7
$W 2k
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] =`3xGh
*ML9C@~
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]
`gCjHX
AXL;
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] n)PF > u
~*8=w6D
诱导公式 VtEBG8/l
s3 n.US
sin(-α) = -sinα #yL*r1S{
6v`uV7qo~
cos(-α) = cosα wA~,Qe;V/c
; 1KS6
sin(π/2-α) = cosα w]KULgT__f
G+Q4GvY
cos(π/2-α) = sinα .xH@. )
dr
*(>Kt=
;?
sin(π/2+α) = cosα peioWvj~*
r$S5qK
##
cos(π/2+α) = -sinα YX*Tl^O
Q,fVi$-?
sin(π-α) = sinα RS:
(
C|03mga2
cos(π-α) = -cosα I]\=_7
CT5L
$Q
sin(π+α) = -sinα ;n6Ic>DU{
w]EH
cos(π+α) = -cosα 34u>[<a
g;>?%FH0X)
tanA= sinA/cosA ]s8OCc
0xg~nnK(
tan(π/2+α)=-cotα RzR1bG[
^:{GN@
tan(π/2-α)=cotα b:](8Y;F
\_{od-M
tan(π-α)=-tanα 6HmB8\Oa0
@&6oy/|P
tan(π+α)=tanα b3I'89(
6|<{vh>A
万能公式 bZD6H'R
a^n{'7iM
hq$3})_!!I
XMi9Or+7K
其它公式 ($*[\U$&
T.PJ#v@NI
(sinα)^2+(cosα)^2=1 UX0^x]:
K
XDvap
1+(tanα)^2=(secα)^2 R]Hep[6\
b6{_OG< )&
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ojrfIRXI
+Q/s] U6
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 +t!>KW
(i(xF;}g
对于任意非直角三角形,总有 N~V;l
RtvB.05
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 8f?;$wf
7
^e'F|(
证: ?"!vx|HP
(b!++$
A+B=π-C =J (Rz|
da[AAz1
tan(A+B)=tan(π-C) mZ2^6Vj8S
L!8( p>
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Dk*Cfab:
.
TgU\@~
整理可得 %{"Muc>#2
H;` A@{8
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC i-O[=c*|
#pV*(4v
得证 mi2Ge]_t
nLIrnlf
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Q%x}@
B.-i7f
其他非重点三角函数 F BNf%P0Nt
q@,T#]s
csc(a) = 1/sin(a) UqLS`@?m
zLUO\7z
sec(a) = 1/cos(a) 6N S? #=&
FLL({Er$
4'^V&\Z
W
] Sn0oTl
双曲函数 6J<7]Avff
&> nHf
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ujmELi{
ce0F)2F
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 FG< |